Номер 14, страница 73 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Все учащиеся класса во время летних каникул отдыхали либо в оздоровительном лагере, либо у бабушки, либо и в лагере, и у бабушки. 18 учащихся класса побывали в оздоровительном лагере, 14 — отдыхали у бабушки в деревне, 5 человек навестили бабушку и провели время в лагере. Сколько всего учащихся в классе?

Для решения этой задачи можно использовать диаграмму Эйлера-Венна или формулу включений-исключений. Рассмотрим оба подхода.

Способ 1: Использование формулы

Пусть $Л$ — это множество учащихся, которые побывали в лагере, а $Б$ — множество учащихся, которые отдыхали у бабушки. Нам нужно найти общее количество учащихся, что соответствует объединению этих двух множеств ($Л \cup Б$).

Из условия задачи нам даны следующие данные:

• Количество учащихся, побывавших в лагере: $|Л| = 18$
• Количество учащихся, отдыхавших у бабушки: $|Б| = 14$
• Количество учащихся, которые были и в лагере, и у бабушки (пересечение множеств): $|Л \cap Б| = 5$

Формула включений-исключений для двух множеств гласит:

$|Л \cup Б| = |Л| + |Б| - |Л \cap Б|$

Подставим наши значения в формулу:

$|Л \cup Б| = 18 + 14 - 5$

$|Л \cup Б| = 32 - 5 = 27$

Таким образом, общее количество учащихся в классе равно 27.

Способ 2: Логические рассуждения

Этот способ позволяет найти ответ по шагам, не используя специальную формулу.

1. Найдем количество учащихся, которые отдыхали только в лагере.
   Всего в лагере было 18 человек, но из них 5 также были у бабушки. Значит, чисто в лагере отдыхали:
   $18 - 5 = 13$ (учащихся)
2. Найдем количество учащихся, которые отдыхали только у бабушки.
   Всего у бабушки отдыхали 14 человек, но 5 из них также были в лагере. Значит, только у бабушки гостили:
   $14 - 5 = 9$ (учащихся)
3. Найдем общее количество учащихся в классе.
   Общее число складывается из трех групп: те, кто был только в лагере; те, кто был только у бабушки; и те, кто был и там, и там.
   $13$ (только лагерь) $+ 9$ (только бабушка) $+ 5$ (и там, и там) $= 27$ (учащихся)

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Сколько всего учащихся в классе? Ответ: 27