Номер 5, страница 151 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Склейте модель конуса по его развёртке (рис. 5).

Рис. 5

Для того чтобы из развёртки можно было собрать модель конуса, необходимо, чтобы длина дуги сектора, образующего боковую поверхность, была равна длине окружности основания. Проверим, выполняется ли это условие для фигур, изображённых на рисунке, приняв сторону одной клетки за единицу.

Радиус меньшего круга (основания конуса) составляет 2 клетки, следовательно, $r = 2$. Длина его окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, таким образом, $C = 2\pi(2) = 4\pi$.

Радиус сектора, который станет образующей конуса, равен 5 клеткам, то есть $l = 5$. Сектор представляет собой круг с вырезанной четвертью (угол $90^\circ$), поэтому его дуга составляет $3/4$ от полной окружности. Длина дуги сектора $L$ равна $L = \frac{3}{4} \cdot 2\pi l = \frac{3}{4} \cdot 2\pi(5) = \frac{15\pi}{2} = 7.5\pi$.

Сравнивая длины, получаем $C = 4\pi$ и $L = 7.5\pi$. Поскольку $C \neq L$, склеить конус из данных частей без их деформации невозможно. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Далее мы найдём параметры конуса, который можно было бы получить, используя только сектор в качестве боковой поверхности, и рассчитаем, каким должно быть его основание.

Образующая конуса $l$ равна радиусу сектора, из которого сворачивается боковая поверхность. Из рисунка видно, что $l = 5$.

Длина окружности основания $C$ нового конуса должна быть равна длине дуги сектора $L$.

$C = L = 7.5\pi = \frac{15\pi}{2}$

Зная, что $C = 2\pi r$, найдем радиус основания $r$:

$2\pi r = \frac{15\pi}{2}$

$r = \frac{15\pi}{4\pi} = \frac{15}{4}$

Высота конуса $h$, его радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$h^2 + r^2 = l^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{15}{4})^2} = \sqrt{25 - \frac{225}{16}} = \sqrt{\frac{400 - 225}{16}} = \sqrt{\frac{175}{16}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{4} = \frac{5\sqrt{7}}{4}$

Чтобы выделить целую часть, можно оценить значение: $\sqrt{7} \approx 2.646$, тогда $h \approx \frac{5 \cdot 2.646}{4} \approx 3.3$. Таким образом, целая часть равна 3.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{15}{4}\right)^2 = \frac{225\pi}{16}$

$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{15}{4} \cdot 5 = \frac{75\pi}{4}$

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{225\pi}{16} + \frac{75\pi}{4} = \frac{225\pi}{16} + \frac{300\pi}{16} = \frac{525\pi}{16}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{525}{16}$: $525 \div 16 = 32$ (остаток 13).

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{15}{4}\right)^2 \cdot \frac{5\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{3} \pi \frac{225}{16} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{4} = \frac{\pi \cdot 225 \cdot 5\sqrt{7}}{3 \cdot 16 \cdot 4} = \frac{\pi \cdot 75 \cdot 5\sqrt{7}}{64} = \frac{375\pi\sqrt{7}}{64}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{375}{64}$: $375 \div 64 = 5$ (остаток 55).