Номер 8, страница 148 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Постройте треугольник $ABC$ по координатам его вершин: $A(-3; -3)$, $B(0; 4)$, $D(5; -1)$. Найдите координаты точек пересечения сторон треугольника с координатными осями.

Для нахождения координат точек пересечения сторон треугольника с координатными осями необходимо для каждой стороны составить уравнение прямой, проходящей через две ее вершины, а затем найти точки, у которых одна из координат равна нулю (x=0 для пересечения с осью Oy и y=0 для пересечения с осью Ox).

Примечание: в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, и третья вершина треугольника ABC должна быть C(5; -1) вместо D(5; -1). Решение приведено для вершин A(-3; -3), B(0; 4) и C(5; -1).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Сторона AB

Прямая проходит через точки A(-3; -3) и B(0; 4). Ее уравнение: $\frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{4 - (-3)}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{3} = \frac{y + 3}{7}$.

• Пересечение с осью Oy (x=0): Точка B(0; 4) является вершиной треугольника и лежит на оси Oy, следовательно, это одна из точек пересечения.
• Пересечение с осью Ox (y=0): Подставим y=0 в уравнение: $\frac{x + 3}{3} = \frac{0 + 3}{7} \Rightarrow 7(x + 3) = 9 \Rightarrow 7x = -12 \Rightarrow x = -\frac{12}{7}$. Точка пересечения: $(-\frac{12}{7}; 0)$. Эта точка принадлежит стороне AB, так как ее координата x находится между -3 и 0.

2. Сторона BC

Прямая проходит через точки B(0; 4) и C(5; -1). Ее уравнение: $\frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$, что упрощается до $\frac{x}{5} = \frac{y - 4}{-5}$.

• Пересечение с осью Oy (x=0): Снова получаем вершину B(0; 4).
• Пересечение с осью Ox (y=0): Подставим y=0 в уравнение: $\frac{x}{5} = \frac{0 - 4}{-5} \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = 4$. Точка пересечения: $(4; 0)$. Эта точка принадлежит стороне BC, так как ее координата x находится между 0 и 5.

3. Сторона AC

Прямая проходит через точки A(-3; -3) и C(5; -1). Ее уравнение: $\frac{x - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{-1 - (-3)}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{8} = \frac{y + 3}{2}$.

• Пересечение с осью Oy (x=0): Подставим x=0 в уравнение: $\frac{0 + 3}{8} = \frac{y + 3}{2} \Rightarrow 6 = 8(y + 3) \Rightarrow 8y = -18 \Rightarrow y = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4}$. Точка пересечения: $(0; -\frac{9}{4})$. Эта точка принадлежит стороне AC, так как ее координата y находится между -3 и -1.
• Пересечение с осью Ox (y=0): Подставим y=0 в уравнение: $\frac{x + 3}{8} = \frac{0 + 3}{2} \Rightarrow 2(x + 3) = 24 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9$. Точка (9; 0) не принадлежит стороне AC, так как ее x-координата 9 не находится между -3 и 5.

Суммируя результаты, получаем следующие точки пересечения сторон треугольника с осями координат: