Номер 5, страница 148 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Постройте четырёхугольник $MNKZ$ по координатам его вершин: $M(-6; 3)$, $N(7; 4)$, $K(4; -3)$, $Z(1; -3)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $MK$ и $NZ$.

Задача состоит из двух частей: построение четырехугольника и нахождение координат точки пересечения его диагоналей.

Для построения четырехугольника MNKZ на координатной плоскости необходимо отметить точки с заданными координатами: M(-6; 3), N(7; 4), K(4; -3) и Z(1; -3). Затем нужно последовательно соединить отрезками точки M и N, N и K, K и Z, Z и M. В результате будет построен искомый четырехугольник.

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей MK и NZ, необходимо составить уравнения прямых, содержащих эти отрезки, и решить полученную систему уравнений. Пусть точка пересечения имеет координаты $(x; y)$.

1. Составление уравнения прямой, проходящей через точки M и K.
   Координаты точек: $M(-6; 3)$ и $K(4; -3)$.
   Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
   $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
   Подставляем координаты точек M и K:
   $\frac{y - 3}{-3 - 3} = \frac{x - (-6)}{4 - (-6)}$
   $\frac{y - 3}{-6} = \frac{x + 6}{10}$
   Используя свойство пропорции, получаем:
   $10(y - 3) = -6(x + 6)$
   $10y - 30 = -6x - 36$
   $6x + 10y = -6$
   Разделим обе части уравнения на 2: $3x + 5y = -3$
2. Составление уравнения прямой, проходящей через точки N и Z.
   Координаты точек: $N(7; 4)$ и $Z(1; -3)$.
   Подставляем координаты в ту же формулу:
   $\frac{y - 4}{-3 - 4} = \frac{x - 7}{1 - 7}$
   $\frac{y - 4}{-7} = \frac{x - 7}{-6}$
   Используя свойство пропорции, получаем:
   $-6(y - 4) = -7(x - 7)$
   $-6y + 24 = -7x + 49$
   $7x - 6y = 25$
3. Решение системы уравнений для нахождения точки пересечения.
   Мы получили систему из двух линейных уравнений:
   $\begin{cases} 3x + 5y = -3 \\ 7x - 6y = 25 \end{cases}$
   Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 6, а второе — на 5:
   $\begin{cases} 18x + 30y = -18 \\ 35x - 30y = 125 \end{cases}$
   Сложим два уравнения:
   $(18x + 35x) + (30y - 30y) = -18 + 125$
   $53x = 107 \implies x = \frac{107}{53}$
   Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($3x + 5y = -3$):
   $3 \cdot (\frac{107}{53}) + 5y = -3$
   $\frac{321}{53} + 5y = -3$
   $5y = -3 - \frac{321}{53} = -\frac{159}{53} - \frac{321}{53} = -\frac{480}{53}$
   $y = -\frac{480}{53 \cdot 5} = -\frac{96}{53}$
4. Преобразование координат в смешанные дроби.
   Координаты точки пересечения в виде неправильных дробей: $(\frac{107}{53}; -\frac{96}{53})$.
   Выделим целую часть:
   $x = \frac{107}{53} = 2\frac{1}{53}$
   $y = -\frac{96}{53} = -1\frac{43}{53}$
   Следовательно, искомые координаты точки пересечения: $(\mathbf{2}\frac{1}{53}; \mathbf{-1}\frac{43}{53})$.