Номер 13, страница 59 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. Пройдя половину пути, катер увеличил скорость на $25\%$ и поэтому прибыл в пункт назначения на полчаса раньше. Сколько времени он двигался?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ - весь путь.
• $v$ - первоначальная скорость катера.

Весь путь делится на две равные части по $\frac{S}{2}$.

1. Анализ первой половины пути.

Катер прошел первую половину пути с постоянной скоростью $v$. Время, затраченное на этот участок, равно:

$t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$

2. Анализ второй половины пути.

На второй половине пути катер увеличил скорость на 25%. Новая скорость $v_{новая}$ составила:

$v_{новая} = v + 0.25v = 1.25v = \frac{5}{4}v$

Время, затраченное на вторую половину пути с новой скоростью, равно:

$t_2 = \frac{S/2}{v_{новая}} = \frac{S/2}{1.25v} = \frac{S}{2.5v} = \frac{S}{\frac{5}{2}v} = \frac{2S}{5v}$

3. Составление уравнения.

Известно, что катер прибыл на полчаса (0.5 часа) раньше. Это означает, что экономия времени произошла именно на второй половине пути, где скорость была увеличена. Если бы катер продолжал движение с первоначальной скоростью $v$, он бы прошел вторую половину пути за время $t_1 = \frac{S}{2v}$.

Разница между временем, которое он бы потратил, и временем, которое он потратил фактически, составляет 0.5 часа:

$\frac{S}{2v} - \frac{2S}{5v} = 0.5$

Приведем дроби к общему знаменателю $10v$:

$\frac{5S}{10v} - \frac{4S}{10v} = 0.5$

$\frac{S}{10v} = 0.5$

Отсюда можем найти время $\frac{S}{v}$, которое катер затратил бы на весь путь, если бы не менял скорость:

$\frac{S}{v} = 0.5 \times 10 = 5$ часов.

Это планируемое время. Фактическое время движения на 0.5 часа меньше.

4. Расчет фактического времени.

Общее время движения катера $t_{общ}$ равно сумме времени на первом и втором участках:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{5v}$

Мы знаем, что $\frac{S}{v} = 5$, подставим это значение:

$t_{общ} = \frac{5}{2} + \frac{2 \times 5}{5} = 2.5 + 2 = 4.5$ часа.

4.5 часа можно представить в виде смешанной дроби: $4\frac{1}{2}$ часа. Это записывается как неправильная дробь $\frac{9}{2}$.

Сколько времени он двигался? Ответ: 4$\frac{1}{2}$ часа.