Номер 9, страница 58 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Для решения этой задачи мы будем исходить из того, что производительность одного землекопа в час является постоянной величиной. Производительность — это объем вырытого грунта за единицу времени одним работником.

Объем работы ($V$) равен произведению длины ($L$), ширины ($W$) и глубины ($G$) канала: $V = L \cdot W \cdot G$.
Общие трудозатраты ($T$) равны произведению числа землекопов ($N$), количества дней ($D$) и часов работы в день ($H$): $T = N \cdot D \cdot H$.

Соотношение между работой и трудозатратами можно выразить так: $\frac{V}{T} = \text{const}$. Следовательно, для двух разных сценариев работы будет справедливо равенство:

$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$

Где индекс 1 обозначает параметры первого случая, а индекс 2 — второго.

1. Запишем известные данные для обоих случаев, приведя все единицы к метрам.

• Случай 1:
  • Число землекопов $N_1 = 26$ чел.
  • Часов в день $H_1 = 12$ ч.
  • Количество дней $D_1 = 40$ дней.
  • Длина канала $L_1 = 96$ м.
  • Ширина канала $W_1 = 20$ м.
  • Глубина канала $G_1 = 12 \text{ дм} = 1.2$ м.
• Случай 2:
  • Число землекопов $N_2 = 39$ чел.
  • Часов в день $H_2 = 10$ ч.
  • Количество дней $D_2 = 80$ дней.
  • Ширина канала $W_2 = 10$ м.
  • Глубина канала $G_2 = 18 \text{ дм} = 1.8$ м.
  • Длина канала $L_2 = ?$ (неизвестна).

2. Составим уравнение на основе пропорции.

Подставим формулы для объема и трудозатрат в наше равенство:

$$ \frac{L_1 \cdot W_1 \cdot G_1}{N_1 \cdot D_1 \cdot H_1} = \frac{L_2 \cdot W_2 \cdot G_2}{N_2 \cdot D_2 \cdot H_2} $$

3. Выразим неизвестную длину $L_2$ и вычислим ее.

Из этого уравнения выразим $L_2$:

$$ L_2 = L_1 \cdot \frac{W_1}{W_2} \cdot \frac{G_1}{G_2} \cdot \frac{N_2}{N_1} \cdot \frac{D_2}{D_1} \cdot \frac{H_2}{H_1} $$

Теперь подставим числовые значения:

$$ L_2 = 96 \cdot \frac{20}{10} \cdot \frac{1.2}{1.8} \cdot \frac{39}{26} \cdot \frac{80}{40} \cdot \frac{10}{12} $$

Упростим каждую дробь:

• $\frac{20}{10} = 2$
• $\frac{1.2}{1.8} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
• $\frac{39}{26} = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 13} = \frac{3}{2}$
• $\frac{80}{40} = 2$
• $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Перемножим полученные значения:

$$ L_2 = 96 \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{5}{6} $$

Сократим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$:

$$ L_2 = 96 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{6} = 96 \cdot 4 \cdot \frac{5}{6} $$

Выполним оставшиеся вычисления:

$$ L_2 = \frac{96 \cdot 4 \cdot 5}{6} = \frac{384 \cdot 5}{6} = \frac{1920}{6} = 320 \text{ м} $$

Таким образом, 39 землекопов смогут вырыть канал длиной 320 метров при заданных условиях.

Ответ: 320