Номер 10, страница 58 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Два пешехода одновременно вышли из пункта $A$ по направлению к пункту $B$. Шаг второго был на $20 \%$ короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на $20 \%$ шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму пешеходу для достижения цели, если первый прибыл в пункт $B$ спустя 5 часов после выхода из пункта $A$?

Для решения данной задачи введем переменные, описывающие характеристики движения каждого пешехода.

• Пусть $L_1$ — длина шага первого пешехода, а $F_1$ — частота его шагов (количество шагов в единицу времени, например, в час).
• Тогда скорость первого пешехода $V_1$ будет равна произведению длины шага на их частоту: $V_1 = L_1 \cdot F_1$.
• Пусть $L_2$, $F_2$ и $V_2$ — соответствующие величины для второго пешехода.

Согласно условиям задачи, мы можем выразить характеристики второго пешехода через характеристики первого:

1. Шаг второго пешехода был на 20% короче, чем у первого. Это означает, что он составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от шага первого:
   $L_2 = L_1 \cdot (1 - 0.20) = 0.8 \cdot L_1$
2. Второй пешеход за то же время успевал сделать на 20% шагов больше. Это означает, что его частота шагов была на 20% выше, чем у первого, и составляла $100\% + 20\% = 120\%$ от частоты первого:
   $F_2 = F_1 \cdot (1 + 0.20) = 1.2 \cdot F_1$

Теперь мы можем найти скорость второго пешехода $V_2$:

$V_2 = L_2 \cdot F_2 = (0.8 \cdot L_1) \cdot (1.2 \cdot F_1) = (0.8 \cdot 1.2) \cdot (L_1 \cdot F_1)$

Так как $V_1 = L_1 \cdot F_1$, то:

$V_2 = 0.96 \cdot V_1$

Это показывает, что скорость второго пешехода составляет 96% от скорости первого, то есть он движется медленнее.

Оба пешехода прошли одинаковое расстояние $S$ от пункта А до пункта В. Расстояние вычисляется по формуле $S = V \cdot T$, где $T$ — время в пути.

Для первого пешехода известно, что время в пути $T_1 = 5$ часов. Таким образом, расстояние равно:

$S = V_1 \cdot T_1 = V_1 \cdot 5$

Для второго пешехода время в пути $T_2$ неизвестно:

$S = V_2 \cdot T_2$

Поскольку расстояние одно и то же, мы можем приравнять эти два выражения:

$V_1 \cdot 5 = V_2 \cdot T_2$

Подставим в это уравнение найденное соотношение скоростей $V_2 = 0.96 \cdot V_1$:

$V_1 \cdot 5 = (0.96 \cdot V_1) \cdot T_2$

Мы можем сократить $V_1$ в обеих частях уравнения, так как скорость пешехода не равна нулю:

$5 = 0.96 \cdot T_2$

Теперь найдем время $T_2$, которое потребовалось второму пешеходу:

$T_2 = \frac{5}{0.96} = \frac{5}{96/100} = \frac{5 \cdot 100}{96} = \frac{500}{96}$

Сократим полученную неправильную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$T_2 = \frac{500 \div 4}{96 \div 4} = \frac{125}{24}$ часа.

Чтобы выделить целую часть, разделим 125 на 24:

$125 = 24 \cdot 5 + 5$

Следовательно, время в пути для второго пешехода составляет $5 \frac{5}{24}$ часа.

Сколько времени потребовалось второму пешеходу для достижения цели, если первый прибыл в пункт B спустя 5 часов после выхода из пункта A? Ответ: $\frac{125}{24} = \mathbf{5}\frac{5}{24}$ часа.