Номер 12, страница 178 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. Какое наименьшее количество клеток нужно дополнительно закрасить в квадрате, чтобы полученная картинка имела центр симметрии (рис. 45):

а) 4;

б) 5;

в) 2;

г) 3;

д) 1?

Рис. 45

Фигура обладает центральной симметрией, если при повороте на 180° вокруг своего центра она совпадает сама с собой. Для квадрата 4x4 центром симметрии является его геометрический центр. Чтобы картинка стала симметричной, для каждой закрашенной клетки должна быть закрашена и клетка, симметричная ей относительно центра.

Введем систему координат, в которой строки и столбцы пронумерованы от 1 до 4, начиная с верхнего левого угла. Клетка, расположенная в строке $r$ и столбце $c$, имеет координаты $(r, c)$. Для квадрата 4x4 клетка, симметричная клетке $(r, c)$ относительно центра, будет иметь координаты $(5-r, 5-c)$.

Проверим существующие закрашенные клетки:

• Закрашена клетка с координатами (1, 2). Симметричная ей клетка: $(5-1, 5-2) = (4, 3)$. Эта клетка не закрашена, следовательно, ее нужно закрасить.
• Закрашена клетка с координатами (1, 4). Симметричная ей клетка: $(5-1, 5-4) = (4, 1)$. Эта клетка уже закрашена.
• Закрашена клетка с координатами (3, 3). Симметричная ей клетка: $(5-3, 5-3) = (2, 2)$. Эта клетка не закрашена, следовательно, ее нужно закрасить.
• Закрашена клетка с координатами (4, 1). Симметричная ей клетка: $(5-4, 5-1) = (1, 4)$. Эта клетка уже закрашена.

Таким образом, чтобы рисунок имел центр симметрии, необходимо дополнительно закрасить две клетки: (2, 2) и (4, 3). Наименьшее количество клеток, которое нужно дополнительно закрасить, равно 2.

в) 2; Ответ: 2