Номер 9, страница 177 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Определите, сколько существует различных путей из точки $A$ в точку $B$, если нельзя дважды проходить через все другие точки (рис. 43):

a) 3;
б) 6;
в) 8;
г) 7;
д) 5.

Рис. 43

Для решения задачи необходимо найти количество различных путей из точки А в точку В, следуя заданным правилам. Обозначим четыре угловые точки на рисунке цифрами для удобства:

• 1 — левая верхняя точка;
• 2 — левая нижняя точка;
• 3 — правая верхняя точка;
• 4 — правая нижняя точка.

Согласно схеме, точка А соединена с точками 1 и 2. Точка В соединена с точками 3 и 4. Соединения между угловыми точками: 1-2, 1-3, 2-4 и 3-4.

Условие "нельзя дважды проходить через все другие точки" является неоднозначным. Наиболее вероятная трактовка в контексте подобных задач, учитывая необычность формулировки, состоит из двух частей:

1. Путь не должен проходить через одну и ту же промежуточную точку более одного раза (стандартное требование для "различных путей").
2. Путь не должен проходить через все четыре угловые точки {1, 2, 3, 4}. Слово "дважды" в условии, вероятно, является лишним или ошибкой, так как при выполнении первого правила пройти через все точки дважды и так невозможно.

Следуя этой логике, сначала найдем все возможные пути без повторения точек, а затем исключим те из них, которые проходят через все четыре угловые точки.

Шаг 1: Находим все простые пути из А в В.

Все пути начинаются из точки А и могут идти либо в точку 1, либо в точку 2. Фигура симметрична относительно горизонтальной оси, поэтому количество путей, начинающихся с A→1, будет равно количеству путей, начинающихся с A→2.

Подсчитаем пути, начинающиеся с A→1:

1. A → 1 → 3 → B
2. A → 1 → 3 → 4 → B
3. A → 1 → 2 → 4 → B
4. A → 1 → 2 → 4 → 3 → B

Всего 4 различных пути.

Аналогично, для путей, начинающихся с A→2:

5. A → 2 → 4 → B
6. A → 2 → 4 → 3 → B
7. A → 2 → 1 → 3 → B
8. A → 2 → 1 → 3 → 4 → B

Также 4 пути.

Следовательно, общее число простых путей из А в В равно $4 + 4 = 8$.

Шаг 2: Исключаем пути, не удовлетворяющие условию.

Согласно нашей трактовке условия, мы должны исключить пути, которые проходят через все четыре угловые точки. Найдем такие пути в нашем списке:

• Путь №4: A → 1 → 2 → 4 → 3 → B. Этот путь проходит через все точки {1, 2, 4, 3}.
• Путь №8: A → 2 → 1 → 3 → 4 → B. Этот путь проходит через все точки {2, 1, 3, 4}.

Эти два пути не удовлетворяют условию, поэтому мы их исключаем. Вычисляем итоговое количество путей:

$8 - 2 = 6$

Таким образом, существует 6 различных путей из точки A в точку B, удовлетворяющих условию задачи.