Номер 2, страница 175 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Определите координаты точек, отмеченных на рисунке 36. Обозначьте точку, симметричную точке B относительно прямой AC, и найдите её координаты.

$B(2,2)$

$C(4,5)$

$B'(3,-2)$

Рис. 36

Определите координаты точек, отмеченных на рисунке 36. Ответ:

На координатной плоскости, где одна клетка соответствует одной единице, определим координаты заданных точек:

• Точка A (нижний конец отрезка AC): имеет координаты $(3, -1)$.
• Точка B: имеет координаты $(2, 2)$.
• Точка C (верхний конец отрезка AC): имеет координаты $(5, 4)$.
• Точка B': имеет координаты $(3, -2)$.

Обозначьте точку, симметричную точке B относительно прямой AC, и найдите её координаты. Ответ:

Пусть искомая точка, симметричная точке B, будет называться D. Чтобы найти её координаты, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение прямой AC.
   Прямая проходит через точки A(3, -1) и C(5, 4).
   Угловой коэффициент прямой (наклон) $m_{AC}$ вычисляется по формуле:
   $m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - (-1)}{5 - 3} = \frac{5}{2}$.
   Используя уравнение прямой $y = mx + b$ и координаты точки C(5, 4), найдем b:
   $4 = \frac{5}{2} \cdot 5 + b \implies 4 = \frac{25}{2} + b \implies b = 4 - \frac{25}{2} = \frac{8}{2} - \frac{25}{2} = -\frac{17}{2}$.
   Уравнение прямой AC: $y = \frac{5}{2}x - \frac{17}{2}$.
2. Найти уравнение прямой, перпендикулярной AC и проходящей через точку B.
   Угловой коэффициент $m_{BD}$ прямой, перпендикулярной AC, равен $m_{BD} = -1/m_{AC}$.
   $m_{BD} = -\frac{1}{5/2} = -\frac{2}{5}$.
   Эта прямая проходит через точку B(2, 2). Найдем ее уравнение $y = m_{BD}x + b'$:
   $2 = -\frac{2}{5} \cdot 2 + b' \implies 2 = -\frac{4}{5} + b' \implies b' = 2 + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} + \frac{4}{5} = \frac{14}{5}$.
   Уравнение перпендикулярной прямой: $y = -\frac{2}{5}x + \frac{14}{5}$.
3. Найти точку пересечения M этих двух прямых.
   Точка M является основанием перпендикуляра из B на AC. Для ее нахождения приравняем уравнения прямых:
   $\frac{5}{2}x - \frac{17}{2} = -\frac{2}{5}x + \frac{14}{5}$
   Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:
   $10 \cdot (\frac{5}{2}x - \frac{17}{2}) = 10 \cdot (-\frac{2}{5}x + \frac{14}{5})$
   $25x - 85 = -4x + 28$
   $29x = 113 \implies x_M = \frac{113}{29}$.
   Теперь найдем $y_M$, подставив $x_M$ в одно из уравнений:
   $y_M = -\frac{2}{5} \cdot \frac{113}{29} + \frac{14}{5} = -\frac{226}{145} + \frac{406}{145} = \frac{180}{145} = \frac{36}{29}$.
   Координаты точки M: $(\frac{113}{29}, \frac{36}{29})$.
4. Найти координаты симметричной точки D.
   Точка M является серединой отрезка BD. Координаты точки D можно найти по формулам:
   $x_D = 2x_M - x_B = 2 \cdot \frac{113}{29} - 2 = \frac{226}{29} - \frac{58}{29} = \frac{168}{29}$.
   $y_D = 2y_M - y_B = 2 \cdot \frac{36}{29} - 2 = \frac{72}{29} - \frac{58}{29} = \frac{14}{29}$.
   Координаты искомой точки D равны $(\frac{168}{29}, \frac{14}{29})$.
   Для координаты x выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{168}{29} = \mathbf{5}\frac{23}{29}$.