Номер 5, страница 171 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Постройте равнобедренный треугольник $MNK$, в котором $MN = NK$, и отметьте точку $T$ — середину стороны $MK$. Симметричными относительно прямой $NT$ являются точки:

а) $N$ и $M$;

б) $K$ и $M$;

в) $T$ и $K$;

г) $M$ и $T$.

В задаче дан равнобедренный треугольник $MNK$, в котором боковые стороны равны: $MN = NK$. Это означает, что $MK$ является основанием треугольника. Точка $T$ отмечена как середина основания $MK$, следовательно, отрезок $NT$ является медианой, проведенной из вершины $N$ к основанию $MK$.

Согласно одному из ключевых свойств равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, одновременно является его высотой и биссектрисой. Таким образом, прямая $NT$ перпендикулярна основанию $MK$ ($NT \perp MK$) и делит его на два равных отрезка ($MT = TK$).

Две точки называются симметричными относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. Прямая $NT$ является осью симметрии для треугольника $MNK$.

Рассмотрим, какая пара точек удовлетворяет этому условию относительно прямой $NT$.

а) N и M; Ответ: Неверно. Точка $N$ лежит на прямой $NT$, поэтому она симметрична самой себе относительно этой прямой. Точка $M$ не лежит на прямой $NT$. Следовательно, пара точек $N$ и $M$ не является симметричной относительно прямой $NT$.

б) К и М; Ответ: Верно. Прямая $NT$ проходит через точку $T$, которая является серединой отрезка $MK$. Кроме того, прямая $NT$ перпендикулярна отрезку $MK$ (так как $NT$ — высота). Таким образом, прямая $NT$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MK$, а значит, точки $K$ и $M$ симметричны относительно прямой $NT$.

в) Т и К; Ответ: Неверно. Точка $T$ лежит на прямой $NT$ и симметрична самой себе. Точка $K$ не лежит на этой прямой, поэтому пара точек $T$ и $K$ не симметрична.

г) М и Т. Ответ: Неверно. Точка $T$ лежит на прямой $NT$ и симметрична самой себе. Точка $M$ не лежит на этой прямой, поэтому пара точек $M$ и $T$ не симметрична.