Номер 5, страница 176 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Постройте точки, симметричные точкам $M$ и $N$ относительно прямой $a$ (рис. 39).

Рис. 39

Чтобы построить точки, симметричные данным точкам M и N относительно прямой $a$, необходимо понять, что такое осевая симметрия. Две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна ему.

Для построения симметричной точки используется следующий алгоритм:

1. Из точки, для которой строится симметрия (например, M), провести прямую, перпендикулярную оси симметрии (прямой $a$). Для этого можно использовать чертежный угольник или циркуль.
2. Отметить точку пересечения построенного перпендикуляра и прямой $a$. Назовем ее O.
3. Измерить расстояние от исходной точки до точки пересечения (длину отрезка $MO$).
4. На перпендикуляре, по другую сторону от прямой $a$, отложить от точки O отрезок $OM'$ такой же длины, что и $MO$.
5. Полученная точка M' и будет симметричной точке M относительно прямой $a$.

Этот алгоритм применяется для каждой точки (M и N) во всех трех случаях, представленных на рисунке.

На этом рисунке точки M и N расположены по одну сторону от наклонной прямой $a$.

• Для точки M: Проводим перпендикуляр из точки M к прямой $a$. На продолжении этого перпендикуляра за прямую $a$ откладываем отрезок, равный расстоянию от M до прямой $a$. Получаем симметричную точку M'.
• Для точки N: Аналогично проводим перпендикуляр из точки N к прямой $a$ и на его продолжении откладываем отрезок, равный расстоянию от N до прямой $a$. Получаем симметричную точку N'.

В результате точки M' и N' окажутся на другой стороне прямой $a$.

Здесь прямая $a$ горизонтальна, а точки M и N находятся по разные стороны от нее.

• Для точки M: Точка M находится над прямой. Опускаем из нее перпендикуляр на прямую $a$. На этом перпендикуляре откладываем вниз от прямой $a$ отрезок, равный расстоянию от M до $a$. Полученная точка M' окажется под прямой $a$.
• Для точки N: Точка N находится под прямой. Проводим из нее перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре откладываем вверх от прямой $a$ отрезок, равный расстоянию от N до $a$. Полученная точка N' окажется над прямой $a$.

В этом случае прямая $a$ наклонная, и точки M и N также расположены по разные стороны.

• Для точки M: Проводим перпендикуляр из M к прямой $a$. Симметричная точка M' будет лежать на этом перпендикуляре по другую сторону от прямой $a$ на том же расстоянии.
• Для точки N: Проводим перпендикуляр из N к прямой $a$. Симметричная точка N' будет лежать на этом перпендикуляре по другую сторону от прямой $a$ на том же расстоянии, что и точка N.

То есть, точка M' окажется на противоположной стороне от прямой $a$ относительно M, а N' — на противоположной стороне относительно N.