Номер 3.23, страница 23 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.23*. Порядок числа $a$ равен 15. Определите порядок числа:

а) $100a$;

б) $0,00001a$;

в) $a \cdot 10^7$;

г) $a \cdot 10^{-13}$.

Порядком числа называется показатель степени десяти в его стандартной записи. Стандартная запись числа — это представление в виде $m \cdot 10^n$, где $1 \le |m| < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ и есть порядок.

Из условия задачи известно, что порядок числа $a$ равен 15. Это значит, что $a$ можно представить как $a = m \cdot 10^{15}$, где $1 \le |m| < 10$.

Чтобы найти порядок числа $100a$, представим его в стандартном виде. Заменим $a$ его стандартной формой и представим $100$ как $10^2$.
$100a = 10^2 \cdot (m \cdot 10^{15})$
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^p \cdot x^q = x^{p+q}$), получаем:
$m \cdot (10^2 \cdot 10^{15}) = m \cdot 10^{2+15} = m \cdot 10^{17}$
Так как мантисса $m$ осталась без изменений и по-прежнему удовлетворяет условию $1 \le |m| < 10$, полученное выражение является стандартной формой числа. Порядок этого числа равен показателю степени 10.

Ответ: 17.

Представим число $0,00001$ в виде степени десяти: $0,00001 = 10^{-5}$.
Теперь найдём произведение:
$0,00001a = 10^{-5} \cdot (m \cdot 10^{15})$
Сложим показатели степеней:
$m \cdot 10^{-5+15} = m \cdot 10^{10}$
Мантисса $m$ не изменилась, следовательно, запись $m \cdot 10^{10}$ является стандартной. Порядок числа равен 10.

Ответ: 10.

Чтобы определить порядок числа $a : 10^7$, выполним деление, используя стандартную форму числа $a$:
$a : 10^7 = \frac{a}{10^7} = \frac{m \cdot 10^{15}}{10^7}$
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$), получаем:
$m \cdot 10^{15-7} = m \cdot 10^8$
Мантисса $m$ не изменилась, поэтому полученная запись является стандартной. Порядок числа равен 8.

Ответ: 8.

Определим порядок числа $a : 10^{-13}$:
$a : 10^{-13} = \frac{a}{10^{-13}} = \frac{m \cdot 10^{15}}{10^{-13}}$
Применяя свойство деления степеней, получим:
$m \cdot 10^{15 - (-13)} = m \cdot 10^{15+13} = m \cdot 10^{28}$
Мантисса $m$ не изменилась, поэтому полученная запись является стандартной. Порядок числа равен 28.

Ответ: 28.