Номер 13.11, страница 56 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.11. Разложите многочлен на множители:

а) $(a-b)^2 - (a-b);$

б) $(3x-2y) + (3x-2y)^2;$

в) $(c-d)^3 + 2(c-d)^2;$

г) $3(m-n)^2 + 5(n-m);$

д) $(a-7b)^3 - (7b-a)^2;$

е) $(b-c)^4 + d(c-b)^3.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $(a-b)^2 - (a-b)$, нужно вынести за скобки общий множитель, которым является двучлен $(a-b)$.

$(a-b)^2 - (a-b) = (a-b) \cdot (a-b) - 1 \cdot (a-b) = (a-b)((a-b) - 1) = (a-b)(a-b-1)$.

Ответ: $(a-b)(a-b-1)$.

б) В выражении $(3x-2y) + (3x-2y)^2$ общим множителем является $(3x-2y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $(3x-2y)$.

$(3x-2y) + (3x-2y)^2 = 1 \cdot (3x-2y) + (3x-2y) \cdot (3x-2y) = (3x-2y)(1 + (3x-2y)) = (3x-2y)(1+3x-2y)$.

Ответ: $(3x-2y)(1+3x-2y)$.

в) В выражении $(c-d)^3 + 2(c-d)^2$ общим множителем является $(c-d)$ в наименьшей степени, то есть $(c-d)^2$.

$(c-d)^3 + 2(c-d)^2 = (c-d) \cdot (c-d)^2 + 2 \cdot (c-d)^2 = ((c-d) + 2)(c-d)^2 = (c-d)^2(c-d+2)$.

Ответ: $(c-d)^2(c-d+2)$.

г) Для разложения на множители выражения $3(m-n)^2 + 5(n-m)$ заметим, что $(n-m) = -(m-n)$. Преобразуем выражение, чтобы получить общий множитель.

$3(m-n)^2 + 5(n-m) = 3(m-n)^2 - 5(m-n)$.

Теперь вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки:

$(m-n)(3(m-n) - 5) = (m-n)(3m - 3n - 5)$.

Ответ: $(m-n)(3m-3n-5)$.

д) В выражении $(a-7b)^3 - (7b-a)^2$ воспользуемся свойством четной степени: $(x-y)^2 = (y-x)^2$. Таким образом, $(7b-a)^2 = (a-7b)^2$.

Получаем: $(a-7b)^3 - (a-7b)^2$.

Вынесем общий множитель $(a-7b)^2$ за скобки:

$(a-7b)^2((a-7b) - 1) = (a-7b)^2(a-7b-1)$.

Ответ: $(a-7b)^2(a-7b-1)$.

е) В выражении $(b-c)^4 + d(c-b)^3$ воспользуемся свойством нечетной степени: $(y-x)^3 = -(x-y)^3$. Таким образом, $(c-b)^3 = -(b-c)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(b-c)^4 + d(-(b-c)^3) = (b-c)^4 - d(b-c)^3$.

Вынесем общий множитель $(b-c)^3$ за скобки:

$(b-c)^3((b-c) - d) = (b-c)^3(b-c-d)$.

Ответ: $(b-c)^3(b-c-d)$.