Номер 13.8, страница 56 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.8. Разложите на множители двучлен:

а) $4x^5 y^2 - x^3;$

б) $18x^3 - 32xy^2;$

в) $9xy^7 - 16x^3 y;$

г) $12xy^2 - 21x^3 y^2.$

а) Для разложения двучлена $4x^5y^2 - x^3$ на множители сначала вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем (НОД) для одночленов $4x^5y^2$ и $x^3$ является $x^3$. Вынесение общего множителя дает:$4x^5y^2 - x^3 = x^3(4x^2y^2 - 1)$. Выражение в скобках, $4x^2y^2 - 1$, представляет собой разность квадратов, так как $4x^2y^2 = (2xy)^2$ и $1 = 1^2$. Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:$x^3((2xy)^2 - 1^2) = x^3(2xy - 1)(2xy + 1)$.

Ответ: $x^3(2xy - 1)(2xy + 1)$

б) В двучлене $18x^3 - 32xy^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 18 и 32 равен 2. Общий переменный множитель — $x$. Таким образом, выносим за скобки $2x$:$18x^3 - 32xy^2 = 2x(9x^2 - 16y^2)$. Выражение в скобках, $9x^2 - 16y^2$, является разностью квадратов, так как $9x^2 = (3x)^2$ и $16y^2 = (4y)^2$. Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:$2x((3x)^2 - (4y)^2) = 2x(3x - 4y)(3x + 4y)$.

Ответ: $2x(3x - 4y)(3x + 4y)$

в) В двучлене $9xy^7 - 16x^3y$ общим множителем является $xy$. Вынесем его за скобки:$9xy^7 - 16x^3y = xy(9y^6 - 16x^2)$. Выражение в скобках, $9y^6 - 16x^2$, является разностью квадратов, поскольку $9y^6 = (3y^3)^2$ и $16x^2 = (4x)^2$. Применив формулу разности квадратов, получаем:$xy((3y^3)^2 - (4x)^2) = xy(3y^3 - 4x)(3y^3 + 4x)$.

Ответ: $xy(3y^3 - 4x)(3y^3 + 4x)$

г) Для разложения двучлена $12xy^2 - 21x^3y^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 12 и 21 равен 3. Общий множитель для переменных — $xy^2$. Выносим за скобки $3xy^2$:$12xy^2 - 21x^3y^2 = 3xy^2(4 - 7x^2)$. Выражение в скобках $4 - 7x^2$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как 7 не является полным квадратом. Поэтому дальнейшее разложение в рамках стандартной школьной программы не производится.

Ответ: $3xy^2(4 - 7x^2)$