Номер 13.7, страница 56 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.7. Замените * одночленами так, чтобы полученное равен-ство стало тождеством:

a) $x^3 y^4 - * = xy^4(* - 7y);$

б) $* + 15ab^5 = 3ab^4(1 + *);$

а)

Чтобы данное равенство $x^3y^4 - * = xy^4(* - 7y)$ стало тождеством, необходимо найти два одночлена, которые заменяют символы *. Обозначим их для удобства как $*_1$ (в левой части) и $*_2$ (в правой части).

$x^3y^4 - *_1 = xy^4(*_2 - 7y)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, применив распределительный закон умножения: $xy^4(*_2 - 7y) = xy^4 \cdot *_2 - xy^4 \cdot 7y = xy^4 \cdot *_2 - 7xy^5$

Теперь исходное равенство можно переписать в виде: $x^3y^4 - *_1 = xy^4 \cdot *_2 - 7xy^5$

Для того чтобы это было тождество, выражения в левой и правой частях должны быть идентичны. Это возможно, если мы приравняем соответствующие члены многочленов:

• $x^3y^4 = xy^4 \cdot *_2$
• $-*_1 = -7xy^5$

Из первого равенства выразим $*_2$: $*_2 = \frac{x^3y^4}{xy^4} = x^{3-1}y^{4-4} = x^2y^0 = x^2$

Из второго равенства выразим $*_1$: $*_1 = 7xy^5$

Проверим, подставив найденные одночлены в исходное уравнение: $x^3y^4 - 7xy^5 = xy^4(x^2 - 7y)$

Раскрываем скобки в правой части: $xy^4(x^2 - 7y) = xy^4 \cdot x^2 - xy^4 \cdot 7y = x^3y^4 - 7xy^5$

Полученное выражение совпадает с левой частью, значит, одночлены найдены верно.

Ответ: в левой части равенства вместо $*$ нужно подставить одночлен $7xy^5$, а в правой части (в скобках) — $x^2$.

б)

Рассмотрим второе равенство: $* + 15ab^5 = 3ab^4(1 + *)$. Аналогично предыдущему пункту, заменим символы * на $*_1$ и $*_2$.

$*_1 + 15ab^5 = 3ab^4(1 + *_2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3ab^4(1 + *_2) = 3ab^4 \cdot 1 + 3ab^4 \cdot *_2 = 3ab^4 + 3ab^4 \cdot *_2$

Теперь равенство имеет вид: $*_1 + 15ab^5 = 3ab^4 + 3ab^4 \cdot *_2$

Приравняем соответствующие члены многочленов в левой и правой частях, чтобы равенство стало тождеством:

• $*_1 = 3ab^4$
• $15ab^5 = 3ab^4 \cdot *_2$

Первый одночлен $*_1$ уже найден. Из второго равенства выразим $*_2$: $*_2 = \frac{15ab^5}{3ab^4} = (\frac{15}{3}) \cdot a^{1-1} \cdot b^{5-4} = 5a^0b^1 = 5b$

Проверим, подставив найденные одночлены в исходное уравнение: $3ab^4 + 15ab^5 = 3ab^4(1 + 5b)$

Раскрываем скобки в правой части: $3ab^4(1 + 5b) = 3ab^4 \cdot 1 + 3ab^4 \cdot 5b = 3ab^4 + 15ab^5$

Левая и правая части совпадают, следовательно, решение верное.

Ответ: в левой части равенства вместо $*$ нужно подставить одночлен $3ab^4$, а в правой части (в скобках) — $5b$.