Номер 13.20, страница 58 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.20. Представьте выражение в виде произведения:

a) $(2a - 3b)^2 - (a + 2b)^2$;

б) $(x^2 - 1)^2 - (3x^2 + 2)^2$;

в) $81a^2 - 16(2a - 3b)^2$;

г) $(5m - 2n)^2 - 9(4m - n)^2$.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) Представим выражение $(2a - 3b)^2 - (a + 2b)^2$ в виде произведения.

В данном случае $A = 2a - 3b$ и $B = a + 2b$. Применим формулу разности квадратов:

$(2a - 3b)^2 - (a + 2b)^2 = ((2a - 3b) - (a + 2b)) \cdot ((2a - 3b) + (a + 2b))$

Упростим выражения в каждой паре скобок:

Первый множитель: $(2a - 3b) - (a + 2b) = 2a - 3b - a - 2b = a - 5b$.

Второй множитель: $(2a - 3b) + (a + 2b) = 2a - 3b + a + 2b = 3a - b$.

Результат: $(a - 5b)(3a - b)$.

Ответ: $(a - 5b)(3a - b)$.

б) Представим выражение $(x^2 - 1)^2 - (3x^2 + 2)^2$ в виде произведения.

Здесь $A = x^2 - 1$ и $B = 3x^2 + 2$. Применим формулу:

$(x^2 - 1)^2 - (3x^2 + 2)^2 = ((x^2 - 1) - (3x^2 + 2)) \cdot ((x^2 - 1) + (3x^2 + 2))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(x^2 - 1) - (3x^2 + 2) = x^2 - 1 - 3x^2 - 2 = -2x^2 - 3 = -(2x^2 + 3)$.

Второй множитель: $(x^2 - 1) + (3x^2 + 2) = x^2 - 1 + 3x^2 + 2 = 4x^2 + 1$.

Результат: $-(2x^2 + 3)(4x^2 + 1)$.

Ответ: $-(2x^2 + 3)(4x^2 + 1)$.

в) Представим выражение $81a^2 - 16(2a - 3b)^2$ в виде произведения.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:

$81a^2 = (9a)^2$

$16(2a - 3b)^2 = 4^2 \cdot (2a - 3b)^2 = (4(2a - 3b))^2 = (8a - 12b)^2$

Теперь выражение имеет вид $(9a)^2 - (8a - 12b)^2$. Здесь $A = 9a$ и $B = 8a - 12b$.

Применим формулу разности квадратов:

$(9a)^2 - (8a - 12b)^2 = (9a - (8a - 12b)) \cdot (9a + (8a - 12b))$

Упростим множители:

Первый множитель: $9a - (8a - 12b) = 9a - 8a + 12b = a + 12b$.

Второй множитель: $9a + (8a - 12b) = 9a + 8a - 12b = 17a - 12b$.

Результат: $(a + 12b)(17a - 12b)$.

Ответ: $(a + 12b)(17a - 12b)$.

г) Представим выражение $(5m - 2n)^2 - 9(4m - n)^2$ в виде произведения.

Представим второй член в виде квадрата:

$9(4m - n)^2 = 3^2 \cdot (4m - n)^2 = (3(4m - n))^2 = (12m - 3n)^2$

Выражение принимает вид $(5m - 2n)^2 - (12m - 3n)^2$. Здесь $A = 5m - 2n$ и $B = 12m - 3n$.

Применим формулу разности квадратов:

$((5m - 2n) - (12m - 3n)) \cdot ((5m - 2n) + (12m - 3n))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(5m - 2n) - (12m - 3n) = 5m - 2n - 12m + 3n = -7m + n = n - 7m$.

Второй множитель: $(5m - 2n) + (12m - 3n) = 5m - 2n + 12m - 3n = 17m - 5n$.

Результат: $(n - 7m)(17m - 5n)$.

Ответ: $(n - 7m)(17m - 5n)$.