Номер 13.23, страница 59 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.23. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

a) $a^2 + 25 + 10a;$

б) $b^2 + 9 - 6b;$

в) $49 + c^2 + 14c;$

г) $64 + d^2 - 16d.$

Для того чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения: формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Переставим слагаемые, чтобы привести трехчлен к стандартному виду по убыванию степеней переменной: $a^2 + 10a + 25$. Данное выражение соответствует правой части формулы квадрата суммы $x^2+2xy+y^2$. Определим слагаемые двучлена. Первый член трехчлена $a^2$ является квадратом $a$, значит, $x=a$. Третий член $25$ является квадратом $5$ ($25=5^2$), значит, $y=5$. Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $x$ и $y$: $2xy = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$. Так как все условия выполняются, данный трехчлен является квадратом суммы $(a+5)$. Таким образом, $a^2 + 10a + 25 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a+5)^2$.

Ответ: $(a+5)^2$

Переставим слагаемые для приведения к стандартному виду: $b^2 - 6b + 9$. Данное выражение соответствует правой части формулы квадрата разности $x^2-2xy+y^2$. Определим слагаемые двучлена. Первый член $b^2$ является квадратом $b$, значит, $x=b$. Третий член $9$ является квадратом $3$ ($9=3^2$), значит, $y=3$. Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot b \cdot 3 = -6b$. Условия выполняются, следовательно, данный трехчлен является квадратом разности $(b-3)$. Таким образом, $b^2 - 6b + 9 = (b)^2 - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = (b-3)^2$.

Ответ: $(b-3)^2$

Переставим слагаемые для приведения к стандартному виду: $c^2 + 14c + 49$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $x^2+2xy+y^2$. Первый член $c^2$ является квадратом $c$, значит, $x=c$. Третий член $49$ является квадратом $7$ ($49=7^2$), значит, $y=7$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot c \cdot 7 = 14c$. Условия выполняются, значит, данный трехчлен является квадратом суммы $(c+7)$. Таким образом, $c^2 + 14c + 49 = (c)^2 + 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = (c+7)^2$.

Ответ: $(c+7)^2$

Переставим слагаемые для приведения к стандартному виду: $d^2 - 16d + 64$. Это выражение соответствует формуле квадрата разности $x^2-2xy+y^2$. Первый член $d^2$ является квадратом $d$, значит, $x=d$. Третий член $64$ является квадратом $8$ ($64=8^2$), значит, $y=8$. Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot d \cdot 8 = -16d$. Условия выполняются, значит, данный трехчлен является квадратом разности $(d-8)$. Таким образом, $d^2 - 16d + 64 = (d)^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2 = (d-8)^2$.

Ответ: $(d-8)^2$