Номер 13.30, страница 60 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.30*. Разложите многочлен на множители:

а) $4x^2 + 20x - 9y^2 + 12y + 21;$

б) $49x^2 - 28x - 16y^2 + 24y - 5.$

а) $4x^2 + 20x - 9y^2 + 12y + 21$

Для разложения многочлена на множители сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$, чтобы выделить полные квадраты.

Слагаемые с $x$: $4x^2 + 20x$. Это похоже на первые два члена формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Здесь $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, значит $a=2x$. Тогда $2ab = 2 \cdot 2x \cdot b = 4xb$. Так как $4xb=20x$, то $b=5$. Для полного квадрата не хватает $b^2=5^2=25$.
Слагаемые с $y$: $-9y^2 + 12y$. Вынесем знак минус за скобки: $-(9y^2 - 12y)$. Выражение в скобках похоже на первые два члена формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a^2 = 9y^2 = (3y)^2$, значит $a=3y$. Тогда $2ab = 2 \cdot 3y \cdot b = 6yb$. Так как $6yb=12y$, то $b=2$. Для полного квадрата в скобках не хватает $b^2=2^2=4$.

Перегруппируем исходный многочлен, представив свободный член $21$ в виде $25 - 4$:
$4x^2 + 20x - 9y^2 + 12y + (25 - 4) = (4x^2 + 20x + 25) + (-9y^2 + 12y - 4)$

Вынесем минус из второй группы слагаемых:
$(4x^2 + 20x + 25) - (9y^2 - 12y + 4)$

Теперь свернем полные квадраты в каждой скобке:
$(2x+5)^2 - (3y-2)^2$

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 2x+5$ и $B = 3y-2$:
$((2x+5) - (3y-2))((2x+5) + (3y-2))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(2x+5-3y+2)(2x+5+3y-2) = (2x-3y+7)(2x+3y+3)$

Ответ: $(2x-3y+7)(2x+3y+3)$

б) $49x^2 - 28x - 16y^2 + 24y - 5$

Действуем аналогично предыдущему пункту, выделяя полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Слагаемые с $x$: $49x^2 - 28x = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 2$. Для полного квадрата не хватает $2^2=4$.
Слагаемые с $y$: $-16y^2 + 24y = -(16y^2 - 24y) = -((4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 3)$. Для полного квадрата внутри скобок не хватает $3^2=9$.

Представим свободный член $-5$ как разность $4 - 9$, чтобы можно было дополнить обе группы до полных квадратов.
$49x^2 - 28x - 16y^2 + 24y - 5 = (49x^2 - 28x + 4) + (-16y^2 + 24y - 9)$

Вынесем минус из второй группы слагаемых:
$(49x^2 - 28x + 4) - (16y^2 - 24y + 9)$

Свернем полные квадраты:
$(7x-2)^2 - (4y-3)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 7x-2$ и $B = 4y-3$:
$((7x-2) - (4y-3))((7x-2) + (4y-3))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(7x-2-4y+3)(7x-2+4y-3) = (7x-4y+1)(7x+4y-5)$

Ответ: $(7x-4y+1)(7x+4y-5)$