Номер 13.31, страница 60 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.31*. Представьте в виде произведения выражение:

а) $b^2(a+1) - a^2(b+1)$;

б) $b^2(a-1) - a^2(b-1)$.

а) Чтобы представить выражение $b^2(a + 1) - a^2(b + 1)$ в виде произведения, сначала раскроем скобки:
$b^2(a + 1) - a^2(b + 1) = ab^2 + b^2 - a^2b - a^2$
Теперь сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:
$(ab^2 - a^2b) + (b^2 - a^2)$
Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$ab(b - a) + (b - a)(b + a)$
Теперь мы видим общий множитель $(b - a)$, который можно вынести за скобки:
$(b - a)(ab + (b + a))$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(b - a)(ab + b + a)$
Ответ: $(b - a)(a + b + ab)$

б) Аналогично, начнем с раскрытия скобок в выражении $b^2(a - 1) - a^2(b - 1)$:
$b^2(a - 1) - a^2(b - 1) = ab^2 - b^2 - a^2b + a^2$
Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым. Обратите внимание на знаки:
$(ab^2 - a^2b) + (a^2 - b^2)$
Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим как разность квадратов:
$ab(b - a) + (a - b)(a + b)$
Чтобы получить общий множитель, заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это в выражение:
$-ab(a - b) + (a - b)(a + b)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(-ab + (a + b))$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a - b)(-ab + a + b)$
Ответ: $(a - b)(a + b - ab)$