Номер 14.5, страница 61 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.5. Верно ли, что уравнения равносильны:

а) $x - 3 = 7$ и $\frac{x}{10} = 1;

б) $0x = 5$ и $x = 0;

в) $15x = 5$ и $x + 4 = 7;

г) $0x = 0$ и $-x = 1?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней (решений) совпадают. Чтобы проверить равносильность, найдем корни для каждой пары уравнений.

а) $x - 3 = 7$ и $\frac{x}{10} = 1$

1. Решим первое уравнение:

$x - 3 = 7$

Перенесем $-3$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 7 + 3$

$x = 10$

Корень первого уравнения равен $10$.

2. Решим второе уравнение:

$\frac{x}{10} = 1$

Умножим обе части уравнения на $10$:

$x = 1 \cdot 10$

$x = 10$

Корень второго уравнения также равен $10$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают и состоят из одного числа $10$, уравнения являются равносильными.

Ответ: да, уравнения равносильны.

б) $0x = 5$ и $x = 0$

1. Рассмотрим первое уравнение:

$0 \cdot x = 5$

При умножении любого числа $x$ на $0$ результат всегда равен $0$. Равенство $0 = 5$ является ложным. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество его решений пусто ($\emptyset$).

2. Второе уравнение $x = 0$ имеет один корень: $0$.

Множества решений уравнений не совпадают (пустое множество и множество, состоящее из числа $0$). Значит, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

в) $15x = 5$ и $x + 4 = 7$

1. Решим первое уравнение:

$15x = 5$

Разделим обе части на $15$:

$x = \frac{5}{15}$

$x = \frac{1}{3}$

Корень первого уравнения равен $\frac{1}{3}$.

2. Решим второе уравнение:

$x + 4 = 7$

Перенесем $4$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 7 - 4$

$x = 3$

Корень второго уравнения равен $3$.

Поскольку корни уравнений различны ($\frac{1}{3} \ne 3$), множества их решений не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

г) $0x = 0$ и $-x = 1$

1. Рассмотрим первое уравнение:

$0 \cdot x = 0$

При умножении любого числа $x$ на $0$ результат всегда равен $0$. Равенство $0 = 0$ является истинным для любого значения $x$. Таким образом, решением этого уравнения является любое действительное число. Множество решений - $\mathbb{R}$.

2. Решим второе уравнение:

$-x = 1$

Умножим обе части на $-1$:

$x = -1$

Корень второго уравнения равен $-1$.

Множество решений первого уравнения (все действительные числа) и множество решений второго уравнения (только число $-1$) не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.