Номер 13.24, страница 59 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.24. Разложите многочлен на множители:

а) $25a^4 + 10a^2 + 1;$

б) $b^6 - 12b^3 + 36;$

в) $4m^8 + 4m^4 + 1;$

г) $n^{10} - 4n^5 + 4.$

а) Для разложения многочлена $25a^4 + 10a^2 + 1$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Заметим, что первый член многочлена $25a^4$ является квадратом выражения $5a^2$, то есть $25a^4 = (5a^2)^2$. Третий член $1$ является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

Проверим, является ли средний член $10a^2$ удвоенным произведением $5a^2$ и $1$.

$2 \cdot (5a^2) \cdot 1 = 10a^2$.

Поскольку средний член совпадает, данный многочлен является полным квадратом суммы выражений $5a^2$ и $1$.

$25a^4 + 10a^2 + 1 = (5a^2)^2 + 2 \cdot 5a^2 \cdot 1 + 1^2 = (5a^2 + 1)^2$.

Ответ: $(5a^2 + 1)^2$.

б) Для разложения многочлена $b^6 - 12b^3 + 36$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый член $b^6$ как квадрат выражения $b^3$, то есть $b^6 = (b^3)^2$. Третий член $36$ является квадратом числа $6$, то есть $36 = 6^2$.

Проверим, является ли средний член $-12b^3$ удвоенным произведением $b^3$ и $6$ со знаком минус.

$-2 \cdot (b^3) \cdot 6 = -12b^3$.

Средний член совпадает, значит, данный многочлен является полным квадратом разности выражений $b^3$ и $6$.

$b^6 - 12b^3 + 36 = (b^3)^2 - 2 \cdot b^3 \cdot 6 + 6^2 = (b^3 - 6)^2$.

Ответ: $(b^3 - 6)^2$.

в) Для разложения многочлена $4m^8 + 4m^4 + 1$ на множители снова используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $4m^8$ можно представить как $(2m^4)^2$. Третий член $1$ можно представить как $1^2$.

Проверим средний член $4m^4$.

$2 \cdot (2m^4) \cdot 1 = 4m^4$.

Средний член совпадает. Следовательно, многочлен является полным квадратом суммы выражений $2m^4$ и $1$.

$4m^8 + 4m^4 + 1 = (2m^4)^2 + 2 \cdot 2m^4 \cdot 1 + 1^2 = (2m^4 + 1)^2$.

Ответ: $(2m^4 + 1)^2$.

г) Для разложения многочлена $n^{10} - 4n^5 + 4$ на множители снова используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $n^{10}$ можно представить как $(n^5)^2$. Третий член $4$ можно представить как $2^2$.

Проверим средний член $-4n^5$.

$-2 \cdot (n^5) \cdot 2 = -4n^5$.

Средний член совпадает. Таким образом, многочлен является полным квадратом разности выражений $n^5$ и $2$.

$n^{10} - 4n^5 + 4 = (n^5)^2 - 2 \cdot n^5 \cdot 2 + 2^2 = (n^5 - 2)^2$.

Ответ: $(n^5 - 2)^2$.