Номер 13.25, страница 59 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.25. Представьте трехчлен $a^4 + 4b^6 - 4a^2b^3$ в виде квадрата двучлена.

Чтобы представить трехчлен $a^4 + 4b^6 - 4a^2b^3$ в виде квадрата двучлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения. Существуют две основные формулы для квадрата двучлена:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Наш трехчлен содержит отрицательный член $-4a^2b^3$, поэтому будем использовать формулу квадрата разности.

1. Перегруппируем члены трехчлена, чтобы они соответствовали порядку в формуле $x^2 - 2xy + y^2$:

$a^4 - 4a^2b^3 + 4b^6$

2. Определим, какие выражения могут быть $x$ и $y$. Для этого представим первый и последний члены в виде квадратов:

$x^2 = a^4 = (a^2)^2$, следовательно, $x = a^2$.

$y^2 = 4b^6 = (2b^3)^2$, следовательно, $y = 2b^3$.

3. Проверим, соответствует ли средний член $-4a^2b^3$ удвоенному произведению $-2xy$:

$-2xy = -2 \cdot (a^2) \cdot (2b^3) = -4a^2b^3$.

Средний член совпадает. Это подтверждает, что наш трехчлен является полным квадратом разности выражений $a^2$ и $2b^3$.

4. Запишем итоговый результат:

$a^4 - 4a^2b^3 + 4b^6 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b^3) + (2b^3)^2 = (a^2 - 2b^3)^2$.

Ответ: $(a^2 - 2b^3)^2$.