Номер 13.21, страница 58 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.21. Используйте способ группировки для разложения на множители многочлена:

а) $3x^3y^2 - 4x^2y^3 - 27x + 36y$;

б) $5xy^2 - 3y^2 - 20x^3 + 12x^2$.

а) $3x^3y^2 - 4x^2y^3 - 27x + 36y$

Для разложения многочлена на множители используем способ группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым.
$(3x^3y^2 - 4x^2y^3) + (-27x + 36y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-9$.
$x^2y^2(3x - 4y) - 9(3x - 4y)$

Теперь у нас есть общий множитель $(3x - 4y)$, который мы также можем вынести за скобки.
$(3x - 4y)(x^2y^2 - 9)$

Выражение во второй скобке $(x^2y^2 - 9)$ представляет собой разность квадратов, так как $x^2y^2 = (xy)^2$ и $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$(x^2y^2 - 9) = (xy - 3)(xy + 3)$

Подставив это разложение в наше выражение, получим окончательный вид.
$(3x - 4y)(xy - 3)(xy + 3)$
Ответ: $(3x - 4y)(xy - 3)(xy + 3)$

б) $5xy^2 - 3y^2 - 20x^3 + 12x^2$

Сгруппируем члены многочлена: первый со вторым и третий с четвертым.
$(5xy^2 - 3y^2) + (-20x^3 + 12x^2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y^2$. Во второй группе вынесем за скобки $-4x^2$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе.
$y^2(5x - 3) - 4x^2(5x - 3)$

Теперь вынесем общий множитель $(5x - 3)$ за скобки.
$(5x - 3)(y^2 - 4x^2)$

Выражение во второй скобке $(y^2 - 4x^2)$ является разностью квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$(y^2 - 4x^2) = (y - 2x)(y + 2x)$

В итоге получаем следующее разложение на множители.
$(5x - 3)(y - 2x)(y + 2x)$
Ответ: $(5x - 3)(y - 2x)(y + 2x)$