Номер 13.22, страница 58 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.22. Разложите многочлен на множители, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:

а) $a^2 - 6a + 9;$

б) $4x^2 - 4x + 1;$

в) $9b^2 + 6b + 1;$

г) $64a^2 - 16a + 1;$

д) $b^2 + 10bc + 25c^2;$

е) $m^2 - 14mn + 49n^2.$

Для разложения многочленов на множители используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применим эти формулы к каждому из выражений.

а) $a^2 - 6a + 9$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном многочлене $a^2$ – это квадрат $a$, а $9$ – это квадрат $3$. Проверим средний член: удвоенное произведение $a$ и $3$ со знаком минус равно $-2 \cdot a \cdot 3 = -6a$. Так как все условия формулы выполняются, мы можем разложить многочлен.

$a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$.

Ответ: $(a-3)^2$.

б) $4x^2 - 4x + 1$

Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном многочлене первый член $4x^2$ – это квадрат $2x$, а третий член $1$ – это квадрат $1$. Проверим средний член: удвоенное произведение $2x$ и $1$ со знаком минус равно $-2 \cdot 2x \cdot 1 = -4x$. Условия формулы соблюдены.

$4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$.

Ответ: $(2x-1)^2$.

в) $9b^2 + 6b + 1$

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом многочлене $9b^2$ – это квадрат $3b$, а $1$ – это квадрат $1$. Проверим средний член: удвоенное произведение $3b$ и $1$ равно $2 \cdot 3b \cdot 1 = 6b$. Все условия формулы выполнены.

$9b^2 + 6b + 1 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = (3b+1)^2$.

Ответ: $(3b+1)^2$.

г) $64a^2 - 16a + 1$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $64a^2$ является квадратом $8a$, а $1$ является квадратом $1$. Проверим средний член: удвоенное произведение $8a$ и $1$ со знаком минус равно $-2 \cdot 8a \cdot 1 = -16a$. Условия формулы соблюдаются.

$64a^2 - 16a + 1 = (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot 1 + 1^2 = (8a-1)^2$.

Ответ: $(8a-1)^2$.

д) $b^2 + 10bc + 25c^2$

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В этом выражении $b^2$ – это квадрат $b$, а $25c^2$ – это квадрат $5c$. Проверим средний член: удвоенное произведение $b$ и $5c$ равно $2 \cdot b \cdot 5c = 10bc$. Все условия формулы выполнены.

$b^2 + 10bc + 25c^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 5c + (5c)^2 = (b+5c)^2$.

Ответ: $(b+5c)^2$.

е) $m^2 - 14mn + 49n^2$

Применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном многочлене $m^2$ – это квадрат $m$, а $49n^2$ – это квадрат $7n$. Проверим средний член: удвоенное произведение $m$ и $7n$ со знаком минус равно $-2 \cdot m \cdot 7n = -14mn$. Условия формулы соблюдены.

$m^2 - 14mn + 49n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 7n + (7n)^2 = (m-7n)^2$.

Ответ: $(m-7n)^2$.