Номер 13.29, страница 59 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.29. Разложите на множители многочлен:

a) $147x^2 - 210x + 75;$

б) $16x^2y^3 + 56x^2y^2 + 49x^2y;$

в) $216x^3 + 576x^2 + 384x;$

г) $18x^3y^2 - 108x^2y^3 + 162xy^4.$

а) $147x^2 - 210x + 75$

Первым шагом вынесем за скобки наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 147, 210 и 75. Разложим числа на простые множители: $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$ $210 = 10 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$ НОД(147, 210, 75) = 3.

Выносим 3 за скобки: $147x^2 - 210x + 75 = 3(49x^2 - 70x + 25)$

Выражение в скобках, $49x^2 - 70x + 25$, является полным квадратом разности и соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$: $a^2 = 49x^2 \implies a = 7x$ $b^2 = 25 \implies b = 5$

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (7x) \cdot 5 = 70x$. Так как в выражении стоит знак минус, получаем $-70x$. Следовательно, $49x^2 - 70x + 25 = (7x - 5)^2$.

Подставляем полученное выражение обратно: $3(7x - 5)^2$

Ответ: $3(7x - 5)^2$

б) $16x^2y^3 + 56x^2y^2 + 49x^2y$

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для всех членов многочлена общим множителем является $x^2y$. $16x^2y^3 + 56x^2y^2 + 49x^2y = x^2y(16y^2 + 56y + 49)$

Рассмотрим выражение в скобках: $16y^2 + 56y + 49$. Оно представляет собой полный квадрат суммы и соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$: $a^2 = 16y^2 \implies a = 4y$ $b^2 = 49 \implies b = 7$

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (4y) \cdot 7 = 56y$. Следовательно, $16y^2 + 56y + 49 = (4y + 7)^2$.

Запишем итоговое разложение: $x^2y(4y + 7)^2$

Ответ: $x^2y(4y + 7)^2$

в) $216x^3 + 576x^2 + 384x$

Вынесем за скобки общий множитель. Для переменных это $x$. Для коэффициентов 216, 576 и 384 найдем НОД. $216 = 2^3 \cdot 3^3$ $576 = 2^6 \cdot 3^2$ $384 = 2^7 \cdot 3$ НОД(216, 576, 384) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$. Общий множитель равен $24x$.

Выносим $24x$ за скобки: $216x^3 + 576x^2 + 384x = 24x(9x^2 + 24x + 16)$

Выражение в скобках $9x^2 + 24x + 16$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$: $a^2 = 9x^2 \implies a = 3x$ $b^2 = 16 \implies b = 4$

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot 4 = 24x$. Следовательно, $9x^2 + 24x + 16 = (3x + 4)^2$.

Запишем итоговое разложение: $24x(3x + 4)^2$

Ответ: $24x(3x + 4)^2$

г) $18x^3y^2 - 108x^2y^3 + 162xy^4$

Вынесем за скобки общий множитель. Для переменных это $xy^2$. Для коэффициентов 18, 108 и 162 найдем НОД. $18 = 2 \cdot 3^2$ $108 = 18 \cdot 6 = 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$ $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$ НОД(18, 108, 162) = $2^1 \cdot 3^2 = 18$. Общий множитель равен $18xy^2$.

Выносим $18xy^2$ за скобки: $18x^3y^2 - 108x^2y^3 + 162xy^4 = 18xy^2(x^2 - 6xy + 9y^2)$

Выражение в скобках $x^2 - 6xy + 9y^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$: $a^2 = x^2 \implies a = x$ $b^2 = 9y^2 \implies b = 3y$

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot (3y) = 6xy$. Так как в выражении стоит знак минус, получаем $-6xy$. Следовательно, $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$.

Запишем итоговое разложение: $18xy^2(x - 3y)^2$

Ответ: $18xy^2(x - 3y)^2$