Номер 20.23, страница 92 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.23* Два трактора вспахали поле за 2 дня. За первый день они вспахали $ \frac{1}{3} $ поля, причем первый трактор работал 2 ч, а второй — на 1 ч больше. Во второй день первый трактор работал 5 ч, а второй — 4,5 ч. Найдите, за сколько часов мог бы вспахать все поле второй трактор, работая один.

Пусть производительность первого трактора равна $x$ (часть поля в час), а производительность второго трактора равна $y$ (часть поля в час). Всю работу по вспашке поля примем за единицу (1).

По условию, в первый день первый трактор работал 2 часа, а второй — на 1 час больше, то есть $2 + 1 = 3$ часа. За это время они вместе вспахали $\frac{1}{3}$ поля. Составим первое уравнение, отражающее работу за первый день:
$2x + 3y = \frac{1}{3}$

За два дня было вспахано все поле. Следовательно, во второй день была вспахана оставшаяся часть поля:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Во второй день первый трактор работал 5 часов, а второй — 4,5 часа. Составим второе уравнение для работы за второй день:
$5x + 4.5y = \frac{2}{3}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$$ \begin{cases} 2x + 3y = \frac{1}{3} \\ 5x + 4.5y = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Для решения системы умножим обе части первого уравнения на 2,5, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:
$2.5 \cdot (2x + 3y) = 2.5 \cdot \frac{1}{3}$
$5x + 7.5y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

Теперь вычтем второе уравнение исходной системы из полученного нового уравнения:
$(5x + 7.5y) - (5x + 4.5y) = \frac{5}{6} - \frac{2}{3}$
$3y = \frac{5}{6} - \frac{4}{6}$
$3y = \frac{1}{6}$
$y = \frac{1}{6 \cdot 3} = \frac{1}{18}$

Таким образом, производительность второго трактора составляет $\frac{1}{18}$ поля в час.

Чтобы найти, за сколько часов второй трактор вспашет все поле, работая один, нужно всю работу (1) разделить на его производительность ($y$):
Время = $\frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.

Ответ: за 18 часов.