Номер 20.24, страница 92 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.24*. Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй — в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. Найдите, за сколько дней выполнил бы всю работу первый рабочий, если бы работал один.

Примем весь объем работы за 1. Пусть $p_1$ — производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за один день), а $p_2$ — производительность второго рабочего.

Из первого условия задачи следует, что, работая вместе 5 дней, они выполняют всю работу. Составим первое уравнение:
$(p_1 + p_2) \cdot 5 = 1$
$p_1 + p_2 = \frac{1}{5}$

Из второго условия, если бы производительность первого рабочего была в два раза выше ($2p_1$), а второго — в два раза ниже ($\frac{p_2}{2}$), они бы справились с работой за 4 дня. Составим второе уравнение:
$(2p_1 + \frac{p_2}{2}) \cdot 4 = 1$
$2p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{4}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{5} \\ 2p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{4} \end{cases} $$

Выразим $p_2$ из первого уравнения: $p_2 = \frac{1}{5} - p_1$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его относительно $p_1$:

$2p_1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - p_1) = \frac{1}{4}$
$2p_1 + \frac{1}{10} - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{4}$
$2p_1 - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{10}$
$\frac{3}{2}p_1 = \frac{5}{20} - \frac{2}{20}$
$\frac{3}{2}p_1 = \frac{3}{20}$
$p_1 = \frac{3}{20} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{10}$ работы в день. Следовательно, время $T_1$, за которое он выполнит всю работу, работая один, равно:

$T_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/10} = 10$ дней.

Ответ: 10 дней.