Номер 20.21, страница 92 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.21* Решите систему уравнений $\begin{cases} \frac{4x - 5y}{13} + \frac{3x + 7y}{8} = 8, \\ \frac{2(4x - 5y)}{13} - \frac{3x + 7y}{8} = 1 \end{cases}$

методом замены переменных.

Данная система уравнений:

Для решения системы воспользуемся методом замены переменных. Введем новые переменные для повторяющихся выражений:

Пусть $a = \frac{4x - 5y}{13}$ и $b = \frac{3x + 7y}{8}$.

После подстановки система примет следующий вид:

Решим эту систему относительно $a$ и $b$ методом сложения. Сложив два уравнения, получим:

$(a + b) + (2a - b) = 8 + 1$

$3a = 9$

$a = 3$

Теперь подставим значение $a=3$ в первое уравнение ($a + b = 8$) для нахождения $b$:

$3 + b = 8$

$b = 5$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Упростим систему, умножив первое уравнение на 13, а второе на 8:

Решим полученную систему линейных уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы исключить переменную $x$:

Сложим два новых уравнения:

$(12x - 15y) + (-12x - 28y) = 117 - 160$

$-43y = -43$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в уравнение $3x + 7y = 40$:

$3x + 7(1) = 40$

$3x = 33$

$x = 11$

Решением системы является пара чисел $(11; 1)$.

Ответ: $(11; 1)$.