Номер 20.15, страница 90 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.15. Ученик из Интернета загружает на компьютер два текстовых файла. За первую секунду загрузилась $\frac{1}{4}$ первого файла и $\frac{1}{3}$ второго файла, что составило 340 КБ. За вторую секунду загрузилась $\frac{1}{3}$ оставшейся части первого файла, что на 60 КБ меньше половины оставшейся части второго файла. Найдите размер каждого файла.

Пусть $x$ КБ — размер первого файла, а $y$ КБ — размер второго файла.

Исходя из условия, что за первую секунду загрузилась $\frac{1}{4}$ первого файла и $\frac{1}{3}$ второго файла, что в сумме составило 340 КБ, мы можем составить первое уравнение:
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340$

Далее, определим оставшиеся части файлов после первой секунды загрузки.
Оставшаяся часть первого файла: $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$.
Оставшаяся часть второго файла: $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$.

За вторую секунду загрузилась $\frac{1}{3}$ от оставшейся части первого файла. Вычислим этот объем:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x$ КБ.

Этот объем ($\frac{1}{4}x$) на 60 КБ меньше половины оставшейся части второго файла. Половина оставшейся части второго файла равна:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}y = \frac{1}{3}y$ КБ.
Отсюда получаем второе уравнение:
$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 \\ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $\frac{1}{4}x$ из второго уравнения в первое:
$(\frac{1}{3}y - 60) + \frac{1}{3}y = 340$
$\frac{2}{3}y - 60 = 340$
$\frac{2}{3}y = 340 + 60$
$\frac{2}{3}y = 400$
$y = 400 \cdot \frac{3}{2}$
$y = 600$
Таким образом, размер второго файла равен 600 КБ.

Теперь найдем размер первого файла, подставив найденное значение $y$ во второе уравнение:
$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}(600) - 60$
$\frac{1}{4}x = 200 - 60$
$\frac{1}{4}x = 140$
$x = 140 \cdot 4$
$x = 560$
Следовательно, размер первого файла равен 560 КБ.

Ответ: размер первого файла — 560 КБ, размер второго файла — 600 КБ.