Номер 20.16, страница 91 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.16*. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} -2(2x + 3) + 2.5 = 3(y - 2x) - 9, \\ 4.5 - 4(1 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 3)^2 - (x - 2)^2 = (y + 2)^2 - (y - 3)^2, \\ 13y - 2x(4 - x) = (2 + x)^2 + (3 - x)^2. \end{cases}$

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} -2(2x + 3) + 2,5 = 3(y - 2x) - 9, \\ 4,5 - 4(1 - x) = 2y - (5 - x). \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$$ -2(2x + 3) + 2,5 = 3(y - 2x) - 9 $$

Раскроем скобки:

$$ -4x - 6 + 2,5 = 3y - 6x - 9 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ -4x - 3,5 = 3y - 6x - 9 $$

Соберем все слагаемые с переменными в левой части, а числовые — в правой:

$$ -4x + 6x - 3y = -9 + 3,5 $$

$$ 2x - 3y = -5,5 $$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$ 4x - 6y = -11 $$

Второе уравнение:

$$ 4,5 - 4(1 - x) = 2y - (5 - x) $$

Раскроем скобки:

$$ 4,5 - 4 + 4x = 2y - 5 + x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 0,5 + 4x = 2y - 5 + x $$

Соберем все слагаемые с переменными в левой части, а числовые — в правой:

$$ 4x - x - 2y = -5 - 0,5 $$

$$ 3x - 2y = -5,5 $$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$ 6x - 4y = -11 $$

Мы получили упрощенную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 6y = -11, \\ 6x - 4y = -11. \end{cases} $$

Для решения системы применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 3(4x - 6y) = 3(-11) \\ -2(6x - 4y) = -2(-11) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x - 18y = -33, \\ -12x + 8y = 22. \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$$ (12x - 18y) + (-12x + 8y) = -33 + 22 $$

$$ -10y = -11 $$

$$ y = \frac{-11}{-10} = 1,1 $$

Подставим найденное значение $y$ в уравнение $6x - 4y = -11$:

$$ 6x - 4(1,1) = -11 $$

$$ 6x - 4,4 = -11 $$

$$ 6x = -11 + 4,4 $$

$$ 6x = -6,6 $$

$$ x = \frac{-6,6}{6} = -1,1 $$

Ответ: $(-1,1; 1,1)$.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} (x + 3)^2 - (x - 2)^2 = (y + 2)^2 - (y - 3)^2, \\ 13y - 2x(4 - x) = (2 + x)^2 + (3 - x)^2. \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Левая часть: $((x+3)-(x-2))((x+3)+(x-2)) = (x+3-x+2)(x+3+x-2) = 5(2x+1) = 10x+5$.

Правая часть: $((y+2)-(y-3))((y+2)+(y-3)) = (y+2-y+3)(y+2+y-3) = 5(2y-1) = 10y-5$.

Приравняем упрощенные части:

$$ 10x + 5 = 10y - 5 $$

$$ 10x - 10y = -10 $$

Разделим обе части на 10:

$$ x - y = -1 $$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв все скобки:

$$ 13y - 2x(4 - x) = (2 + x)^2 + (3 - x)^2 $$

$$ 13y - 8x + 2x^2 = (4 + 4x + x^2) + (9 - 6x + x^2) $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 13y - 8x + 2x^2 = 13 - 2x + 2x^2 $$

Сократим $2x^2$ в обеих частях. Затем перенесем слагаемые с переменными в левую часть:

$$ 13y - 8x + 2x = 13 $$

$$ -6x + 13y = 13 $$

Мы получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = -1, \\ -6x + 13y = 13. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$ (метод подстановки):

$$ x = y - 1 $$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$$ -6(y - 1) + 13y = 13 $$

$$ -6y + 6 + 13y = 13 $$

$$ 7y = 13 - 6 $$

$$ 7y = 7 $$

$$ y = 1 $$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=1$ в выражение $x = y - 1$:

$$ x = 1 - 1 = 0 $$

Ответ: $(0; 1)$.