Номер 20.9, страница 89 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.9. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = \frac{1}{3}, \\ \frac{x}{3} = \frac{y}{3} + \frac{1}{9}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2x}{5} - \frac{5y}{2} = 3, \\ 2x - 7y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x - 6y = -1, \\ \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{5x + 9y}{3} = \frac{2x + 3y}{2}, \\ \frac{x - 3y}{2} = \frac{2x - 3y}{3}; \end{cases}$

д) $\begin{cases} \frac{3x - 7}{4} - \frac{2y - 3}{5} = 1, \\ \frac{2x - y}{2} - 1 = y - 2; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3, \\ \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{1}{3} \\ \frac{x}{3} = \frac{y}{3} + \frac{1}{9} \end{cases} $$

Упростим второе уравнение. Для этого умножим все его члены на 9 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 9):

$9 \cdot \frac{x}{3} = 9 \cdot \frac{y}{3} + 9 \cdot \frac{1}{9}$

$3x = 3y + 1$

$3x - 3y = 1$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{1}{3} \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} $$

Можно решить систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = \frac{1}{3} - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(\frac{1}{3} - y) - 3y = 1$

$1 - 3y - 3y = 1$

$1 - 6y = 1$

$-6y = 1 - 1$

$-6y = 0$

$y = 0$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=0$ в выражение $x = \frac{1}{3} - y$:

$x = \frac{1}{3} - 0$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $(\frac{1}{3}; 0)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x}{5} - \frac{5y}{2} = 3 \\ 2x - 7y = 4 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив его на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2):

$10 \cdot (\frac{2x}{5} - \frac{5y}{2}) = 10 \cdot 3$

$4x - 25y = 30$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 4x - 25y = 30 \\ 2x - 7y = 4 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(2x - 7y) = -2 \cdot 4$

$-4x + 14y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(4x - 25y) + (-4x + 14y) = 30 + (-8)$

$-11y = 22$

$y = -2$

Подставим значение $y=-2$ во второе исходное уравнение $2x - 7y = 4$:

$2x - 7(-2) = 4$

$2x + 14 = 4$

$2x = 4 - 14$

$2x = -10$

$x = -5$

Ответ: $(-5; -2)$

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - 6y = -1 \\ \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, умножив его на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):

$6 \cdot (\frac{x-1}{3}) + 6 \cdot (\frac{y+1}{2}) = 6 \cdot 10$

$2(x-1) + 3(y+1) = 60$

$2x - 2 + 3y + 3 = 60$

$2x + 3y + 1 = 60$

$2x + 3y = 59$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 5x - 6y = -1 \\ 2x + 3y = 59 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2(2x + 3y) = 2 \cdot 59$

$4x + 6y = 118$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(5x - 6y) + (4x + 6y) = -1 + 118$

$9x = 117$

$x = \frac{117}{9}$

$x = 13$

Подставим значение $x=13$ в уравнение $2x + 3y = 59$:

$2(13) + 3y = 59$

$26 + 3y = 59$

$3y = 59 - 26$

$3y = 33$

$y = 11$

Ответ: $(13; 11)$

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{5x+9y}{3} = \frac{2x+3y}{2} \\ \frac{x-3y}{2} = \frac{2x-3y}{3} \end{cases} $$

Упростим оба уравнения, используя свойство пропорции (крест-накрест):

Первое уравнение:

$2(5x+9y) = 3(2x+3y)$

$10x + 18y = 6x + 9y$

$10x - 6x + 18y - 9y = 0$

$4x + 9y = 0$

Второе уравнение:

$3(x-3y) = 2(2x-3y)$

$3x - 9y = 4x - 6y$

$3x - 4x - 9y + 6y = 0$

$-x - 3y = 0$ или $x + 3y = 0$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 4x + 9y = 0 \\ x + 3y = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = -3y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-3y) + 9y = 0$

$-12y + 9y = 0$

$-3y = 0$

$y = 0$

Теперь найдем $x$, подставив $y=0$ в выражение $x = -3y$:

$x = -3(0)$

$x = 0$

Ответ: $(0; 0)$

д)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x-7}{4} - \frac{2y-3}{5} = 1 \\ \frac{2x-y}{2} - 1 = y-2 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение. Умножим на 20 (НОК 4 и 5):

$5(3x-7) - 4(2y-3) = 20$

$15x - 35 - 8y + 12 = 20$

$15x - 8y - 23 = 20$

$15x - 8y = 43$

Второе уравнение. Умножим на 2:

$(2x-y) - 2 = 2(y-2)$

$2x - y - 2 = 2y - 4$

$2x - y - 2y = -4 + 2$

$2x - 3y = -2$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 15x - 8y = 43 \\ 2x - 3y = -2 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -8:

$3(15x - 8y) = 3 \cdot 43 \implies 45x - 24y = 129$

$-8(2x - 3y) = -8 \cdot (-2) \implies -16x + 24y = 16$

Сложим полученные уравнения:

$(45x - 24y) + (-16x + 24y) = 129 + 16$

$29x = 145$

$x = \frac{145}{29}$

$x = 5$

Подставим $x=5$ в уравнение $2x - 3y = -2$:

$2(5) - 3y = -2$

$10 - 3y = -2$

$-3y = -12$

$y = 4$

Ответ: $(5; 4)$

е)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x-y}{6} + \frac{2x+y}{9} = 3 \\ \frac{x+y}{3} - \frac{x-y}{4} = 4 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение. Умножим на 18 (НОК 6 и 9):

$3(2x-y) + 2(2x+y) = 18 \cdot 3$

$6x - 3y + 4x + 2y = 54$

$10x - y = 54$

Второе уравнение. Умножим на 12 (НОК 3 и 4):

$4(x+y) - 3(x-y) = 12 \cdot 4$

$4x + 4y - 3x + 3y = 48$

$x + 7y = 48$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 10x - y = 54 \\ x + 7y = 48 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 10x - 54$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 7(10x - 54) = 48$

$x + 70x - 378 = 48$

$71x = 48 + 378$

$71x = 426$

$x = \frac{426}{71}$

$x = 6$

Теперь найдем $y$, подставив $x=6$ в выражение $y = 10x - 54$:

$y = 10(6) - 54$

$y = 60 - 54$

$y = 6$

Ответ: $(6; 6)$