Номер 20.7, страница 89 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.7. В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин. Летом число отдыхающих мужчин уменьшилось на 10 %, число женщин увеличилось на 20 %, а их общее число увеличилось на 75 человек. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхали в санатории летом?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество мужчин, отдыхавших в санатории зимой, а $y$ — количество женщин, отдыхавших зимой.

Из условия известно, что всего зимой отдыхало 1200 человек. Составим первое уравнение:

$x + y = 1200$

Летом число мужчин уменьшилось на 10%. Это означает, что их стало $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначального количества. Выразим число мужчин летом: $0.9x$.

Число женщин увеличилось на 20%. Это означает, что их стало $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначального количества. Выразим число женщин летом: $1.2y$.

Общее число отдыхающих летом увеличилось на 75 человек по сравнению с зимой. Новое общее число составило: $1200 + 75 = 1275$ человек. Составим второе уравнение, сложив число мужчин и женщин летом:

$0.9x + 1.2y = 1275$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 1200 \\ 0.9x + 1.2y = 1275 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 1200 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$0.9(1200 - y) + 1.2y = 1275$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$1080 - 0.9y + 1.2y = 1275$

Приведем подобные слагаемые:

$0.3y = 1275 - 1080$

$0.3y = 195$

Найдем $y$:

$y = \frac{195}{0.3} = 650$

Итак, зимой в санатории отдыхало 650 женщин. Теперь найдем количество мужчин зимой:

$x = 1200 - 650 = 550$

Зимой отдыхало 550 мужчин.

Вопрос задачи — сколько мужчин и женщин отдыхали в санатории летом. Рассчитаем эти значения:

Количество мужчин летом: $0.9x = 0.9 \cdot 550 = 495$

Количество женщин летом: $1.2y = 1.2 \cdot 650 = 780$

Проверим: общее число отдыхающих летом $495 + 780 = 1275$, что совпадает с данными задачи.

Ответ: летом в санатории отдыхали 495 мужчин и 780 женщин.