Номер 20.3, страница 88 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.3. Умножьте одно из уравнений системы на -1 и решите систему способом сложения:

а) $ \begin{cases} 2x + y = -11, \\ 4x + y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + 3y = 2, \\ 2x + 3y = 7; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} -5x + 7y = 6, \\ 2x + 7y = 76; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x + 2y = -25, \\ 3x + 2y = -5. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = -11 \\ 4x + y = 1 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение системы на $-1$. Коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях одинаковы ($1$), поэтому после умножения они станут противоположными ($ -1 $ и $1$), что позволит исключить эту переменную при сложении уравнений.
$(-1) \cdot (2x + y) = (-1) \cdot (-11) \implies -2x - y = 11$
Получаем новую систему: $$ \begin{cases} -2x - y = 11 \\ 4x + y = 1 \end{cases} $$ Складываем уравнения системы почленно:
$(-2x - y) + (4x + y) = 11 + 1$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2} = 6$
Подставим значение $x=6$ в первое исходное уравнение ($2x + y = -11$), чтобы найти $y$:
$2(6) + y = -11$
$12 + y = -11$
$y = -11 - 12$
$y = -23$
Ответ: $(6, -23)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $-1$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными.
$(-1) \cdot (x + 3y) = (-1) \cdot 2 \implies -x - 3y = -2$
Новая система: $$ \begin{cases} -x - 3y = -2 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $$ Складываем уравнения системы:
$(-x - 3y) + (2x + 3y) = -2 + 7$
$x = 5$
Подставим значение $x=5$ в первое исходное уравнение ($x + 3y = 2$):
$5 + 3y = 2$
$3y = 2 - 5$
$3y = -3$
$y = \frac{-3}{3} = -1$
Ответ: $(5, -1)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -5x + 7y = 6 \\ 2x + 7y = 76 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $-1$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными.
$(-1) \cdot (-5x + 7y) = (-1) \cdot 6 \implies 5x - 7y = -6$
Новая система: $$ \begin{cases} 5x - 7y = -6 \\ 2x + 7y = 76 \end{cases} $$ Складываем уравнения системы:
$(5x - 7y) + (2x + 7y) = -6 + 76$
$7x = 70$
$x = \frac{70}{7} = 10$
Подставим значение $x=10$ во второе исходное уравнение ($2x + 7y = 76$):
$2(10) + 7y = 76$
$20 + 7y = 76$
$7y = 76 - 20$
$7y = 56$
$y = \frac{56}{7} = 8$
Ответ: $(10, 8)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = -25 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $-1$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными.
$(-1) \cdot (x + 2y) = (-1) \cdot (-25) \implies -x - 2y = 25$
Новая система: $$ \begin{cases} -x - 2y = 25 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases} $$ Складываем уравнения системы:
$(-x - 2y) + (3x + 2y) = 25 + (-5)$
$2x = 20$
$x = \frac{20}{2} = 10$
Подставим значение $x=10$ в первое исходное уравнение ($x + 2y = -25$):
$10 + 2y = -25$
$2y = -25 - 10$
$2y = -35$
$y = \frac{-35}{2} = -17.5$
Ответ: $(10, -17.5)$.