Номер 19.12, страница 87 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.12*. Пусть $a$ и $b$ — некоторые числа. Чему они должны быть равны для того, чтобы система уравнений $\begin{cases} ax + 9y = 8, \\ 4x - by = 2 \end{cases}$ имела более одного решения?

Система линейных уравнений имеет более одного решения (то есть бесконечное множество решений), когда уравнения в ней являются линейно зависимыми. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных и свободные члены одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам и свободному члену другого уравнения.

Для данной системы: $$ \begin{cases} ax + 9y = 8 \\ 4x - by = 2 \end{cases} $$ условие пропорциональности записывается в виде следующего равенства отношений: $$ \frac{a}{4} = \frac{9}{-b} = \frac{8}{2} $$

Сначала найдем значение этого отношения из известной части пропорции (отношения свободных членов): $$ \frac{8}{2} = 4 $$

Теперь мы знаем, что каждое отношение в пропорции должно быть равно 4. Используем это для нахождения неизвестных параметров $a$ и $b$.

Приравняем первое отношение к 4, чтобы найти $a$: $$ \frac{a}{4} = 4 $$ Из этого уравнения получаем: $$ a = 4 \cdot 4 = 16 $$

Далее, приравняем второе отношение к 4, чтобы найти $b$: $$ \frac{9}{-b} = 4 $$ Из этого уравнения получаем: $$ 9 = -4b $$ $$ b = -\frac{9}{4} $$

Таким образом, для того чтобы система имела более одного решения, значения параметров должны быть $a = 16$ и $b = -9/4$.

Ответ: $a=16$, $b = -9/4$.