Номер 19.7, страница 86 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.7. Может ли система линейных уравнений с двумя переменными иметь ровно одно решение?

Да, система линейных уравнений с двумя переменными может иметь ровно одно решение. Это происходит в том случае, когда графики уравнений, представляющие собой прямые линии на координатной плоскости, пересекаются в одной точке.

Рассмотрим общую форму системы двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

где $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа (коэффициенты).

Каждое из этих уравнений геометрически соответствует прямой на плоскости. Решение системы — это координаты точки $(x; y)$, которая принадлежит обеим прямым, то есть является точкой их пересечения. Система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда эти прямые пересекаются в одной-единственной точке. Это происходит, если прямые не параллельны и не совпадают.

Алгебраическое условие, при котором система имеет единственное решение, заключается в том, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Это условие гарантирует, что угловые коэффициенты прямых различны, и, следовательно, прямые пересекаются.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Проверим выполнение условия для этой системы. Здесь $a_1 = 2$, $b_1 = 1$, $a_2 = 1$, $b_2 = -1$.

Найдём отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$

Поскольку $2 \neq -1$, условие выполняется, и система должна иметь ровно одно решение.

Найдём это решение. Из второго уравнения можно выразить $x$: $x = y + 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(y+1) + y = 5$

$2y + 2 + y = 5$

$3y = 3$

$y = 1$

Теперь подставим найденное значение $y$ обратно в выражение для $x$:

$x = 1 + 1 = 2$

Таким образом, система имеет единственное решение — пару чисел $(2; 1)$.

Ответ: да, может.