Номер 19.8, страница 86 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.8. Могут ли четыре различные пары чисел быть решениями одной и той же системы линейных уравнений с двумя переменными?

$(ax + by = c$

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$. Каждое линейное уравнение вида $ax + by = c$, где коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, геометрически задает прямую на координатной плоскости. Решением системы является пара чисел $(x; y)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Геометрически, решение — это точка, принадлежащая всем прямым, которые соответствуют уравнениям системы.

Система линейных уравнений с двумя переменными может иметь:

• Одно решение — когда прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке.
• Нет решений — когда прямые параллельны и не совпадают.
• Бесконечно много решений — когда все уравнения системы задают одну и ту же прямую (т.е. прямые совпадают).

Вопрос состоит в том, могут ли четыре различные пары чисел одновременно являться решениями одной системы. Это не означает, что система должна иметь ровно четыре решения, а лишь то, что множество ее решений должно содержать как минимум четыре различных пары чисел.

Это возможно в случае, когда у системы бесконечно много решений. В этом случае множество всех решений образует прямую. На любой прямой можно выбрать бесконечное количество различных точек, и, следовательно, можно выбрать и четыре различные точки. Координаты этих четырех точек и будут четырьмя различными парами чисел, являющимися решениями системы.

Приведем пример. Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}x + y = 5 \\2x + 2y = 10\end{cases}$$Второе уравнение этой системы получается из первого умножением обеих частей на 2. Следовательно, оба уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую $y = 5 - x$. Любая пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.

Выберем четыре различные пары чисел, которые удовлетворяют этому уравнению:

1. Пара $(1; 4)$: $1 + 4 = 5$. Верно.
2. Пара $(2; 3)$: $2 + 3 = 5$. Верно.
3. Пара $(0; 5)$: $0 + 5 = 5$. Верно.
4. Пара $(5; 0)$: $5 + 0 = 5$. Верно.

Таким образом, мы нашли четыре различные пары чисел — $(1; 4)$, $(2; 3)$, $(0; 5)$ и $(5; 0)$ — которые являются решениями одной и той же системы линейных уравнений.

Ответ: Да, могут.