Номер 19.11, страница 87 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.11. Сколько решений имеет система уравнений:

a) $\begin{cases} 9x - 6y = -12, \\ 3x - 2y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 16x + 12y = 8, \\ 4x - 3y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - 2y = 6, \\ -2x + y = -3? \end{cases}$

а) Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, можно сравнить отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов.
Дана система:$\begin{cases}9x - 6y = -12 \\3x - 2y = 4\end{cases}$
Для системы вида $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ сравним отношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{3} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{-2} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{4} = -3$
Так как отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов ($\frac{9}{3} = \frac{-6}{-2} \neq \frac{-12}{4}$), то прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.
Ответ: 0 решений.

б) Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}16x + 12y = 8 \\4x - 3y = 2\end{cases}$
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{16}{4} = 4$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{12}{-3} = -4$
Поскольку отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{16}{4} \neq \frac{12}{-3}$), прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно единственное решение.
Ответ: 1 решение.

в) Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}4x - 2y = 6 \\-2x + y = -3\end{cases}$
Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{-2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{1} = -2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{-3} = -2$
Так как все три отношения равны ($\frac{4}{-2} = \frac{-2}{1} = \frac{6}{-3}$), то уравнения в системе эквивалентны (второе уравнение можно получить из первого умножением на $-\frac{1}{2}$). Это означает, что графики уравнений — совпадающие прямые. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.