Номер 19.10, страница 86 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.10. Постройте графики уравнений системы и определите число решений системы:

а) $\begin{cases} x + y = -2 \\ x - y = -13 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 3 \\ 4x - 4y = 8 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ -2x + 4y = -2 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x + y = 2 \\ -3x + y = 2 \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = -2 \\x - y = -13\end{cases}$

Для построения графиков представим каждое уравнение в виде линейной функции $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $x + y = -2$ выразим $y$: $y = -x - 2$. Это график прямой с угловым коэффициентом $k_1 = -1$. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0$, $y=-2$; при $x=-2$, $y=0$.

2. Из второго уравнения $x - y = -13$ выразим $y$: $y = x + 13$. Это график прямой с угловым коэффициентом $k_2 = 1$. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0$, $y=13$; при $x=-13$, $y=0$.

Так как угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 2 \\3x + y = 7\end{cases}$

Представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $x - y = 2$ выразим $y$: $y = x - 2$. Угловой коэффициент $k_1 = 1$. Точки для построения: ($0, -2$) и ($2, 0$).

2. Из второго уравнения $3x + y = 7$ выразим $y$: $y = -3x + 7$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$. Точки для построения: ($0, 7$) и ($2, 1$).

Угловые коэффициенты прямых не равны ($k_1 \neq k_2$), поэтому графики пересекаются. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}2x + y = 5 \\2x - y = 0\end{cases}$

Представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $2x + y = 5$ выразим $y$: $y = -2x + 5$. Угловой коэффициент $k_1 = -2$. Точки для построения: ($0, 5$) и ($2, 1$).

2. Из второго уравнения $2x - y = 0$ выразим $y$: $y = 2x$. Угловой коэффициент $k_2 = 2$. Точки для построения: ($0, 0$) и ($1, 2$).

Так как угловые коэффициенты $k_1 = -2$ и $k_2 = 2$ различны, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 3 \\4x - 4y = 8\end{cases}$

Представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $x - y = 3$ выразим $y$: $y = x - 3$. Угловой коэффициент $k_1 = 1$, пересечение с осью Y в точке ($0, -3$).

2. Из второго уравнения $4x - 4y = 8$ разделим обе части на 4: $x - y = 2$. Выразим $y$: $y = x - 2$. Угловой коэффициент $k_2 = 1$, пересечение с осью Y в точке ($0, -2$).

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 1$), а точки пересечения с осью Y различны. Это означает, что графики уравнений — параллельные прямые, которые никогда не пересекаются. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

д)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x - 2y = 1 \\-2x + 4y = -2\end{cases}$

Представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $x - 2y = 1$ выразим $y$: $2y = x - 1 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.

2. Из второго уравнения $-2x + 4y = -2$ разделим обе части на -2: $x - 2y = 1$. Это уравнение идентично первому. Выразим $y$: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.

Оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Графики уравнений совпадают. Каждая точка этой прямой является решением системы. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

е)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}3x + y = 2 \\-3x + y = 2\end{cases}$

Представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $3x + y = 2$ выразим $y$: $y = -3x + 2$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.

2. Из второго уравнения $-3x + y = 2$ выразим $y$: $y = 3x + 2$. Угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), значит, прямые пересекаются. Система имеет одно решение. Можно заметить, что обе прямые пересекают ось Y в точке ($0, 2$), это и есть их точка пересечения.

Ответ: одно решение.