Номер 19.13, страница 87 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.13*. Пусть $a$ — некоторое число. Чему оно должно быть равно для того, чтобы система уравнений $\begin{cases} 3x - 3ay = a, \\ ax - 9y = 3 \end{cases}$ не имела решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений в том случае, когда прямые, являющиеся графиками этих уравнений, параллельны и не совпадают.

Для системы вида:

$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$

условие отсутствия решений (параллельные и несовпадающие прямые) записывается в виде пропорции коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Если же все три отношения равны, $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, то прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим данную в задаче систему:

$\begin{cases}3x - 3ay = a \\ax - 9y = 3\end{cases}$

Коэффициенты этой системы:

$A_1 = 3, B_1 = -3a, C_1 = a$

$A_2 = a, B_2 = -9, C_2 = 3$

Запишем отношения коэффициентов, предполагая, что $a \neq 0$ (случай $a=0$ рассмотрим отдельно):

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{a}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-3a}{-9} = \frac{a}{3}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{a}{3}$

Для того чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Однако мы видим, что в нашей системе отношение $\frac{B_1}{B_2}$ всегда равно отношению $\frac{C_1}{C_2}$, так как оба они равны $\frac{a}{3}$.

Это означает, что условие $\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ никогда не выполняется (при $a \neq 0$). Следовательно, не может выполниться и вся совокупность условий для отсутствия решений.

Проанализируем, какие случаи возможны. Найдем значения $a$, при которых прямые параллельны, то есть когда $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$:

$\frac{3}{a} = \frac{a}{3}$

Перемножим крест-накрест:

$a^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения: $a=3$ и $a=-3$.

При этих значениях $a$ выполняется равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. А так как $\frac{B_1}{B_2}$ всегда равно $\frac{C_1}{C_2}$, то при $a=3$ и $a=-3$ все три отношения равны:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Это означает, что при $a=3$ и $a=-3$ система имеет бесконечно много решений.

Если же $a \neq 3$ и $a \neq -3$, то $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, что является условием пересечения прямых в одной точке, то есть система имеет единственное решение.

Рассмотрим отдельно случай $a=0$:

$\begin{cases}3x - 3(0)y = 0 \\(0)x - 9y = 3\end{cases}$

$\begin{cases}3x = 0 \\-9y = 3\end{cases}$

Эта система имеет единственное решение: $x=0$, $y = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, данная система уравнений при любом значении параметра $a$ имеет либо единственное решение, либо бесконечно много решений. Случай, когда система не имеет решений, невозможен.

Ответ: Такого значения $a$ не существует.