Номер 20.4, страница 88 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.4. Определите, на какое число удобно умножить одно из уравнений системы, и решите систему способом сложения:

a) $\begin{cases} 3x + 5y = 21, \\ 2x - y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + y = 1, \\ 2x - 3y = -14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x + 5y = 8, \\ x - 3y = -15; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 17, \\ 5x + 6y = 13. \end{cases}$

а)$\begin{cases}3x + 5y = 21, \\2x - y = 1.\end{cases}$

Чтобы решить систему методом сложения, необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях были противоположными числами. В данной системе коэффициенты при переменной y равны 5 и -1. Удобно умножить второе уравнение на 5, чтобы коэффициент при y стал -5.

Умножим все члены второго уравнения на 5:
$5 \cdot (2x - y) = 5 \cdot 1$
$10x - 5y = 5$

Получим новую систему:
$\begin{cases}3x + 5y = 21, \\10x - 5y = 5.\end{cases}$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(3x + 5y) + (10x - 5y) = 21 + 5$
$13x = 26$

Отсюда находим x:
$x = 26 / 13$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в исходное второе уравнение $2x - y = 1$:
$2 \cdot 2 - y = 1$
$4 - y = 1$
$-y = 1 - 4$
$-y = -3$
$y = 3$
Ответ: $(2; 3)$.

б)$\begin{cases}3x + y = 1, \\2x - 3y = -14.\end{cases}$

В этой системе коэффициенты при переменной y равны 1 и -3. Удобно умножить первое уравнение на 3, чтобы коэффициент при y стал 3, что является противоположным числом для -3.

Умножим первое уравнение на 3:
$3 \cdot (3x + y) = 3 \cdot 1$
$9x + 3y = 3$

Новая система:
$\begin{cases}9x + 3y = 3, \\2x - 3y = -14.\end{cases}$

Сложим уравнения:
$(9x + 3y) + (2x - 3y) = 3 + (-14)$
$11x = -11$

Находим x:
$x = -11 / 11$
$x = -1$

Подставим $x=-1$ в исходное первое уравнение $3x + y = 1$:
$3 \cdot (-1) + y = 1$
$-3 + y = 1$
$y = 1 + 3$
$y = 4$
Ответ: $(-1; 4)$.

в)$\begin{cases}4x + 5y = 8, \\x - 3y = -15.\end{cases}$

Здесь коэффициенты при переменной x равны 4 и 1. Удобно умножить второе уравнение на -4, чтобы получить противоположный коэффициент -4.

Умножим второе уравнение на -4:
$-4 \cdot (x - 3y) = -4 \cdot (-15)$
$-4x + 12y = 60$

Новая система:
$\begin{cases}4x + 5y = 8, \\-4x + 12y = 60.\end{cases}$

Сложим уравнения:
$(4x + 5y) + (-4x + 12y) = 8 + 60$
$17y = 68$

Находим y:
$y = 68 / 17$
$y = 4$

Подставим $y=4$ в исходное второе уравнение $x - 3y = -15$:
$x - 3 \cdot 4 = -15$
$x - 12 = -15$
$x = -15 + 12$
$x = -3$
Ответ: $(-3; 4)$.

г)$\begin{cases}x - 3y = 17, \\5x + 6y = 13.\end{cases}$

Коэффициенты при y равны -3 и 6. Удобно умножить первое уравнение на 2, чтобы коэффициент при y стал -6.

Умножим первое уравнение на 2:
$2 \cdot (x - 3y) = 2 \cdot 17$
$2x - 6y = 34$

Новая система:
$\begin{cases}2x - 6y = 34, \\5x + 6y = 13.\end{cases}$

Сложим уравнения:
$(2x - 6y) + (5x + 6y) = 34 + 13$
$7x = 47$

Находим x:
$x = 47/7$

Подставим $x=47/7$ в исходное первое уравнение $x - 3y = 17$:
$47/7 - 3y = 17$
$-3y = 17 - 47/7$
$-3y = 119/7 - 47/7$
$-3y = 72/7$
$y = \frac{72}{7} \cdot (-\frac{1}{3})$
$y = -24/7$
Ответ: $(47/7; -24/7)$.