Номер 20.8, страница 89 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.8. В лицей набирают 210 учащихся. После экзаменов зачислили 40 % поступавших юношей и 75 % поступавших девушек. Среди незачисленных юношей оказалось в 6 раз больше, чем девушек. Сколько человек поступало в лицей?

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $x$ — это общее количество юношей, которые поступали в лицей.

Пусть $y$ — это общее количество девушек, которые поступали в лицей.

Требуется найти общее число поступавших, то есть сумму $x + y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: в лицей зачислили 210 учащихся. Количество зачисленных юношей составляет 40% от их общего числа ($0.4x$), а количество зачисленных девушек — 75% от их общего числа ($0.75y$). Таким образом, получаем первое уравнение:

$0.4x + 0.75y = 210$

Второе условие касается незачисленных учащихся. Количество юношей, которых не зачислили, составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от их общего числа, то есть $0.6x$. Количество девушек, которых не зачислили, составляет $100\% - 75\% = 25\%$ от их общего числа, то есть $0.25y$.

По условию, незачисленных юношей было в 6 раз больше, чем незачисленных девушек. Это дает нам второе уравнение:

$0.6x = 6 \cdot (0.25y)$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$ \begin{cases} 0.4x + 0.75y = 210 \\ 0.6x = 1.5y \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{0.6x}{1.5} = 0.4x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$0.4x + 0.75(0.4x) = 210$

$0.4x + 0.3x = 210$

$0.7x = 210$

$x = \frac{210}{0.7} = 300$

Таким образом, в лицей поступало 300 юношей.

Теперь найдем количество девушек, используя найденное значение $x$:

$y = 0.4x = 0.4 \cdot 300 = 120$

Следовательно, поступало 120 девушек.

Общее количество человек, поступавших в лицей, равно сумме юношей и девушек:

$x + y = 300 + 120 = 420$

Ответ: 420.