Номер 20.5, страница 89 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.5. Решите систему уравнений способом сложения:

а) $\begin{cases} 3x + 8y = 11, \\ 5x - 2y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x + 5y = 1, \\ 5x + 7y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - 5y = -2, \\ 3x + 2y = -13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x - 7y = -32, \\ 2x - 3y = -3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x + 8y = 11, \\ 5x - 2y = 3; \end{cases}$

Для решения системы методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали $8$ и $-8$.

$\begin{cases} 3x + 8y = 11, \\ 4 \cdot (5x - 2y) = 4 \cdot 3; \end{cases}$

$\begin{cases} 3x + 8y = 11, \\ 20x - 8y = 12; \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(3x + 8y) + (20x - 8y) = 11 + 12$

$23x = 23$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(1) + 8y = 11$

$3 + 8y = 11$

$8y = 11 - 3$

$8y = 8$

$y = 1$

Проверим решение, подставив $x=1$ и $y=1$ во второе исходное уравнение:

$5(1) - 2(1) = 5 - 2 = 3$. Верно.

Ответ: $(1; 1)$

б)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x + 5y = 1, \\ 5x + 7y = 5; \end{cases}$

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 5, а второе на -4. Тогда коэффициенты при $x$ станут $20$ и $-20$.

$\begin{cases} 5 \cdot (4x + 5y) = 5 \cdot 1, \\ -4 \cdot (5x + 7y) = -4 \cdot 5; \end{cases}$

$\begin{cases} 20x + 25y = 5, \\ -20x - 28y = -20; \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(20x + 25y) + (-20x - 28y) = 5 + (-20)$

$-3y = -15$

$y = 5$

Подставим значение $y=5$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$4x + 5(5) = 1$

$4x + 25 = 1$

$4x = 1 - 25$

$4x = -24$

$x = -6$

Проверим решение, подставив $x=-6$ и $y=5$ во второе исходное уравнение:

$5(-6) + 7(5) = -30 + 35 = 5$. Верно.

Ответ: $(-6; 5)$

в)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x - 5y = -2, \\ 3x + 2y = -13; \end{cases}$

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2, а второе на 5. Коэффициенты при $y$ станут $-10$ и $10$.

$\begin{cases} 2 \cdot (4x - 5y) = 2 \cdot (-2), \\ 5 \cdot (3x + 2y) = 5 \cdot (-13); \end{cases}$

$\begin{cases} 8x - 10y = -4, \\ 15x + 10y = -65; \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(8x - 10y) + (15x + 10y) = -4 + (-65)$

$23x = -69$

$x = -3$

Подставим значение $x=-3$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(-3) + 2y = -13$

$-9 + 2y = -13$

$2y = -13 + 9$

$2y = -4$

$y = -2$

Проверим решение, подставив $x=-3$ и $y=-2$ в первое исходное уравнение:

$4(-3) - 5(-2) = -12 + 10 = -2$. Верно.

Ответ: $(-3; -2)$

г)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x - 7y = -32, \\ 2x - 3y = -3; \end{cases}$

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 2, а второе на -3. Коэффициенты при $x$ станут $6$ и $-6$.

$\begin{cases} 2 \cdot (3x - 7y) = 2 \cdot (-32), \\ -3 \cdot (2x - 3y) = -3 \cdot (-3); \end{cases}$

$\begin{cases} 6x - 14y = -64, \\ -6x + 9y = 9; \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6x - 14y) + (-6x + 9y) = -64 + 9$

$-5y = -55$

$y = 11$

Подставим значение $y=11$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$2x - 3(11) = -3$

$2x - 33 = -3$

$2x = 33 - 3$

$2x = 30$

$x = 15$

Проверим решение, подставив $x=15$ и $y=11$ в первое исходное уравнение:

$3(15) - 7(11) = 45 - 77 = -32$. Верно.

Ответ: $(15; 11)$