Номер 20.17, страница 91 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.17*. Из пункта А выехал автомобиль; через 10 мин вдогонку ему из пункта А выехал второй автомобиль; еще через 40 мин второй автомобиль догнал первый. Если бы скорость второго автомобиля была меньше на $6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, то он смог бы догнать первый автомобиль только за 1 ч. Найдите скорости автомобилей.

Решение

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля.

1. Анализ первой ситуации.
Первый автомобиль выехал на 10 минут раньше второго. Второй автомобиль догнал первый через 40 минут после своего выезда. Переведем единицы времени в часы для удобства расчетов: 10 мин = $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.
40 мин = $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа.

К моменту, когда второй автомобиль догнал первый, первый автомобиль находился в пути $10 + 40 = 50$ минут, что составляет $\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ часа. Второй автомобиль находился в пути 40 минут, или $\frac{2}{3}$ часа. Поскольку они выехали из одного пункта и встретились в одной точке, они проехали одинаковое расстояние.

Расстояние, которое проехал первый автомобиль, равно $S_1 = v_1 \cdot \frac{5}{6}$.
Расстояние, которое проехал второй автомобиль, равно $S_2 = v_2 \cdot \frac{2}{3}$.
Приравниваем эти расстояния: $v_1 \cdot \frac{5}{6} = v_2 \cdot \frac{2}{3}$

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей: $5 v_1 = 4 v_2$
Это первое уравнение системы.

2. Анализ второй (гипотетической) ситуации.
Скорость второго автомобиля была бы меньше на 6 км/ч, то есть стала бы $(v_2 - 6)$ км/ч. Второй автомобиль, как и прежде, выезжает на 10 минут ($\frac{1}{6}$ часа) позже, но догоняет первый за 1 час. Это означает, что время погони для второго автомобиля составляет 1 час.

За это время второй автомобиль проедет расстояние: $S'_2 = (v_2 - 6) \cdot 1$ км. Первый автомобиль к моменту встречи будет в пути 10 минут (фора) плюс 1 час (время погони), то есть $\frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$ часа. Расстояние, которое проедет первый автомобиль за это время: $S'_1 = v_1 \cdot \frac{7}{6}$ км.
Приравниваем расстояния во второй ситуации: $v_1 \cdot \frac{7}{6} = v_2 - 6$
Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 5v_1 = 4v_2 \\ v_1 \cdot \frac{7}{6} = v_2 - 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v_1$ через $v_2$: $v_1 = \frac{4}{5}v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение: $\left(\frac{4}{5}v_2\right) \cdot \frac{7}{6} = v_2 - 6$
$\frac{28}{30}v_2 = v_2 - 6$
$\frac{14}{15}v_2 = v_2 - 6$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 15: $14v_2 = 15(v_2 - 6)$
$14v_2 = 15v_2 - 90$
$15v_2 - 14v_2 = 90$
$v_2 = 90$

Итак, скорость второго автомобиля — 90 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля, подставив найденное значение $v_2$ в выражение для $v_1$: $v_1 = \frac{4}{5} \cdot 90 = 4 \cdot \frac{90}{5} = 4 \cdot 18 = 72$

Скорость первого автомобиля — 72 км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 72 км/ч, скорость второго автомобиля — 90 км/ч.