Номер 21.2, страница 94 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.2. С помощью определения арифметического квадратного корня докажите, что:

a) $\sqrt{36} = 6;$

б) $\sqrt{900} = 30;$

в) $\sqrt{0,09} = 0,3;$

г) $\sqrt{1,44} = 1,2;$

д) $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2};$

е) $\sqrt{1\frac{7}{9}} = 1\frac{1}{3}.$

Согласно определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ ($\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, что $b^2=a$. Чтобы доказать данные равенства, для каждого из них необходимо проверить выполнение двух условий:

1. 1) Число, стоящее в правой части равенства, является неотрицательным.
2. 2) Квадрат этого числа равен подкоренному выражению.

Проверим эти условия для каждого случая.

а) Для равенства $\sqrt{36} = 6$ необходимо доказать, что $6$ является арифметическим квадратным корнем из $36$.
Проверяем условия:
1. $6 \ge 0$ (число $6$ неотрицательное).
2. $6^2 = 36$.
Оба условия выполняются, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{36} = 6$ верно, так как $6 \ge 0$ и $6^2 = 36$.

б) Для равенства $\sqrt{900} = 30$ необходимо доказать, что $30$ является арифметическим квадратным корнем из $900$.
Проверяем условия:
1. $30 \ge 0$ (число $30$ неотрицательное).
2. $30^2 = 900$.
Оба условия выполняются, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{900} = 30$ верно, так как $30 \ge 0$ и $30^2 = 900$.

в) Для равенства $\sqrt{0,09} = 0,3$ необходимо доказать, что $0,3$ является арифметическим квадратным корнем из $0,09$.
Проверяем условия:
1. $0,3 \ge 0$ (число $0,3$ неотрицательное).
2. $(0,3)^2 = 0,09$.
Оба условия выполняются, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{0,09} = 0,3$ верно, так как $0,3 \ge 0$ и $(0,3)^2 = 0,09$.

г) Для равенства $\sqrt{1,44} = 1,2$ необходимо доказать, что $1,2$ является арифметическим квадратным корнем из $1,44$.
Проверяем условия:
1. $1,2 \ge 0$ (число $1,2$ неотрицательное).
2. $(1,2)^2 = 1,44$.
Оба условия выполняются, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{1,44} = 1,2$ верно, так как $1,2 \ge 0$ и $(1,2)^2 = 1,44$.

д) Для равенства $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ необходимо доказать, что $\frac{1}{2}$ является арифметическим квадратным корнем из $\frac{1}{4}$.
Проверяем условия:
1. $\frac{1}{2} \ge 0$ (число $\frac{1}{2}$ неотрицательное).
2. $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Оба условия выполняются, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ верно, так как $\frac{1}{2} \ge 0$ и $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

е) Для равенства $\sqrt{1\frac{7}{9}} = 1\frac{1}{3}$ необходимо доказать, что $1\frac{1}{3}$ является арифметическим квадратным корнем из $1\frac{7}{9}$.
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{7}{9} = \frac{9 \cdot 1 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
$1\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь докажем равенство $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$.
Проверяем условия:
1. $\frac{4}{3} \ge 0$ (число $\frac{4}{3}$ неотрицательное).
2. $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.
Оба условия выполняются, следовательно, исходное равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt{1\frac{7}{9}} = 1\frac{1}{3}$ верно, так как $1\frac{1}{3} \ge 0$ и $(1\frac{1}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.