Номер 25.8, страница 120 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.8. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите число его корней:

а) $3x^2 + 7x - 5 = 0;$

б) $2x^2 - 4x + 9 = 0;$

в) $25x^2 - 10x + 1 = 0;$

г) $x^2 - 9x + 1 = 0.$

Для нахождения дискриминанта и определения числа корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от значения дискриминанта определяется количество корней:

• Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

а) $3x^2 + 7x - 5 = 0$

Определим коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 7$, $c = -5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 49 - (-60) = 49 + 60 = 109$.

Так как $D = 109 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $D = 109$, 2 корня.

б) $2x^2 - 4x + 9 = 0$

Определим коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -4$, $c = 9$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 16 - 72 = -56$.

Так как $D = -56 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $D = -56$, нет корней.

в) $25x^2 - 10x + 1 = 0$

Определим коэффициенты уравнения: $a = 25$, $b = -10$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $D = 0$, 1 корень.

г) $x^2 - 9x + 1 = 0$

Определим коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -9$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 81 - 4 = 77$.

Так как $D = 77 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $D = 77$, 2 корня.