Номер 1.145, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.145. Вычислите:

а) $-3^{-4}$;

б) $-0,5^{-3}$;

в) $(-2)^{-2}$;

г) $(-0,2)^{-3}$;

д) $\left(-2\frac{3}{7}\right)^{-1}$;

е) $\left(-1\frac{2}{9}\right)^{-2}$.

а) $-3^{-4}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Важно учесть, что показатель степени относится только к основанию 3, а унарный минус не является частью основания.

$ -3^{-4} = -(3^{-4}) = -\frac{1}{3^4} = -\frac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = -\frac{1}{81} $

Ответ: $ -\frac{1}{81} $.

б) $-0,5^{-3}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,5 = \frac{1}{2}$. Показатель степени относится только к числу 0,5. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$ -0,5^{-3} = -(\frac{1}{2})^{-3} = -(\frac{2}{1})^3 = -2^3 = -8 $

Ответ: $ -8 $.

в) $(-2)^{-2}$

В этом случае основание степени — отрицательное число $(-2)$, так как оно заключено в скобки. При возведении отрицательного основания в четную степень результат будет положительным.

$ (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

г) $(-0,2)^{-3}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. При возведении отрицательного основания в нечетную степень результат будет отрицательным.

$ (-0,2)^{-3} = (-\frac{1}{5})^{-3} = (-\frac{5}{1})^3 = (-5)^3 = -125 $

Ответ: $ -125 $.

д) $(-2\frac{3}{7})^{-1}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{3}{7} = -(\frac{2 \times 7 + 3}{7}) = -\frac{17}{7}$. Возведение в степень -1 равносильно нахождению обратного числа.

$ (-2\frac{3}{7})^{-1} = (-\frac{17}{7})^{-1} = -\frac{7}{17} $

Ответ: $ -\frac{7}{17} $.

е) $(-1\frac{2}{9})^{-2}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{9} = -(\frac{1 \times 9 + 2}{9}) = -\frac{11}{9}$. Затем воспользуемся свойствами степеней.

$ (-1\frac{2}{9})^{-2} = (-\frac{11}{9})^{-2} = (-\frac{9}{11})^2 = \frac{9^2}{11^2} = \frac{81}{121} $

Ответ: $ \frac{81}{121} $.