Номер 1.151, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.151. Представьте выражение:

а) $ (2^{-3})^3 \cdot 32 $ в виде степени с основанием 2;

б) $ \frac{(4^3)^{-1} \cdot 16}{4^{-6}} $ в виде степени с основанием 0,25.

а) Представьте выражение $(2^{-3})^3 \cdot 32$ в виде степени с основанием 2.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить выражение $(2^{-3})^3$, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

   $(2^{-3})^3 = 2^{-3 \cdot 3} = 2^{-9}$

2. Представить число 32 как степень с основанием 2.

   $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

3. Перемножить полученные степени, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

   $2^{-9} \cdot 2^5 = 2^{-9+5} = 2^{-4}$

Ответ: $2^{-4}$

б) Представьте выражение $\frac{(4^3)^{-1} \cdot 16}{4^{-6}}$ в виде степени с основанием 0,25.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала упростим данное выражение, приведя все его части к основанию 4.

2. Упростим числитель дроби. Возведем в степень первый множитель:

   $(4^3)^{-1} = 4^{3 \cdot (-1)} = 4^{-3}$

3. Представим второй множитель 16 в виде степени с основанием 4:

   $16 = 4^2$

4. Перемножим степени в числителе:

   $4^{-3} \cdot 4^2 = 4^{-3+2} = 4^{-1}$

5. Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

   $\frac{4^{-1}}{4^{-6}} = 4^{-1 - (-6)} = 4^{-1+6} = 4^5$

6. Теперь необходимо представить полученный результат $4^5$ в виде степени с основанием 0,25. Найдем связь между основаниями 4 и 0,25.

   $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 4^{-1}$

7. Из этого соотношения выразим 4 через 0,25:

   $4 = (4^{-1})^{-1} = (0,25)^{-1}$

8. Подставим это выражение в наш результат $4^5$:

   $4^5 = ((0,25)^{-1})^5 = 0,25^{-1 \cdot 5} = 0,25^{-5}$

Ответ: $0,25^{-5}$