Номер 1.158, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.158. Представьте выражение $ \frac{(x^{-7})^2 \cdot (x^{-3})^{-4}}{(x^6)^{-1} \cdot (x^{-2})^{-3}} $ в виде степени с основанием $x$.

В

Для того чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием x, мы будем использовать основные свойства степеней:

• При возведении степени в степень, их показатели перемножаются: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.
• При умножении степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Исходное выражение:

$$ \frac{(x^{-7})^2 \cdot (x^{-3})^{-4}}{(x^6)^{-1} \cdot (x^{-2})^{-3}} $$

1. Упростим числитель дроби:

Сначала возведем каждую степень в степень:

$$ (x^{-7})^2 = x^{-7 \cdot 2} = x^{-14} $$

$$ (x^{-3})^{-4} = x^{-3 \cdot (-4)} = x^{12} $$

Теперь перемножим полученные результаты:

$$ x^{-14} \cdot x^{12} = x^{-14 + 12} = x^{-2} $$

2. Упростим знаменатель дроби:

Аналогично возведем каждую степень в степень:

$$ (x^6)^{-1} = x^{6 \cdot (-1)} = x^{-6} $$

$$ (x^{-2})^{-3} = x^{-2 \cdot (-3)} = x^{6} $$

И перемножим результаты:

$$ x^{-6} \cdot x^{6} = x^{-6 + 6} = x^0 $$

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$$ \frac{x^{-2}}{x^0} = x^{-2 - 0} = x^{-2} $$

Так как любое число в нулевой степени (кроме 0) равно 1, то $x^0 = 1$, и мы получаем тот же результат:

$$ \frac{x^{-2}}{1} = x^{-2} $$

Ответ: $x^{-2}$.