Номер 1.159, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.159. Вычислите:

а) $(\frac{2}{3})^{-2} + (\frac{4}{7})^{-1}$;

б) $(2^{-1} - 3^{-1} \cdot 6)^{-1}$;

в) $(\frac{1}{6})^{-2} + 6^{-3} : 36^{-2} - 0,6^0$;

г) $\frac{2^{-2} \cdot 5^2 - 25}{10^{-2}}$.

а) Вычислим значение выражения $(\frac{2}{3})^{-2} + (\frac{4}{7})^{-1}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.
1. Возводим первую дробь в степень: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
2. Возводим вторую дробь в степень: $(\frac{4}{7})^{-1} = (\frac{7}{4})^1 = \frac{7}{4}$.
3. Складываем полученные результаты: $\frac{9}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Ответ: 4.

б) Вычислим значение выражения $(2^{-1} - 3^{-1} \cdot 6)^{-1}$.
Используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
1. Сначала выполним действия в скобках. Помним о порядке действий (сначала умножение, потом вычитание): $3^{-1} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{6}{3} = 2$.
2. Теперь выполним вычитание: $2^{-1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.
3. Теперь возведем результат в степень -1: $(-\frac{3}{2})^{-1} = (-\frac{2}{3})^1 = -\frac{2}{3}$.
Ответ: -2/3.

в) Вычислим значение выражения $(\frac{1}{6})^{-2} + 6^{-3} : 36^{-2} - 0,6^0$.
Вычисляем по действиям:
1. $(\frac{1}{6})^{-2} = (\frac{6}{1})^2 = 6^2 = 36$.
2. $6^{-3} : 36^{-2}$. Чтобы использовать свойство частного степеней, приведем основания к одному числу. Так как $36 = 6^2$, то $36^{-2} = (6^2)^{-2} = 6^{2 \cdot (-2)} = 6^{-4}$. Теперь деление: $6^{-3} : 6^{-4} = 6^{-3 - (-4)} = 6^{-3+4} = 6^1 = 6$.
3. $0,6^0 = 1$, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
4. Собираем все части вместе: $36 + 6 - 1 = 42 - 1 = 41$.
Ответ: 41.

г) Вычислим значение выражения $\frac{2^{-2} \cdot 5^2 - 25}{10^{-2}}$.
1. Сначала преобразуем числитель: $2^{-2} \cdot 5^2 - 25 = \frac{1}{2^2} \cdot 25 - 25 = \frac{1}{4} \cdot 25 - 25 = \frac{25}{4} - 25$.
Приводим к общему знаменателю: $\frac{25}{4} - \frac{100}{4} = -\frac{75}{4}$.
2. Теперь преобразуем знаменатель: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.
3. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{-\frac{75}{4}}{ \frac{1}{100}} = -\frac{75}{4} \cdot \frac{100}{1} = -75 \cdot \frac{100}{4} = -75 \cdot 25 = -1875$.
Ответ: -1875.